62. Unique Paths

A robot is located at the top-left corner of a m x n grid (marked 'Start' in the diagram below).

The robot can only move either down or right at any point in time. The robot is trying to reach the bottom-right corner of the grid (marked 'Finish' in the diagram below).

How many possible unique paths are there?

Above is a 3 x 7 grid. How many possible unique paths are there?

Note: m and n will be at most 100.

这一题的突破点在于数学上。

如果用递归的方法，每走一步，都有两个选择：往左or往右。那么时间复杂度为2^(min(n,m)-1)，是指数类型，我们放弃这种做法。

如果我们仔细思考，会发现，在一张mXn图中，我们必须往右走n-1步，往下走m-1步。那么，我们可以通过排列组合知道

结果 = (m+n-2)! / (m-1)!(n-1)!

但是，如果m，n过大，直接算的话会发生溢出。例如当m=20，n=20，则(m+n-2)! = 38!，必定溢出。

那么我们可以通过动态规划来进行。

令f(m,n)为在mXn地图需要走的步数。显然 f(m, n) = (m+n-2)! / (m-1)!(n-1)!

则 f(m, n-1) = (m+n-3) / (m-1)!(n-2)!

得到 f(m, n) = f(m, n-1)*(m+n-2) / (n-1)

通过这个递推式我们就可以写出我们的代码：

int uniquePaths(int m, int n) {
if (m == 1 || n == 1) return 1;  //当n = 1或 m = 1，只有一种路径
int a = 1;       //a = f(m, 1)
for (int i = 2; i <= n; i++)
   a = a*(m+i-2)/(i-1);   //f(m, n) = f(m, n-1)*(m+n-2) / (n-1)
    return a;
}