算法导论 22.1-4 通用汇点 O(V)

问题 

如果我们用邻接矩阵来存储图，那么绝大多数图算法的运行时间都是Ω(|V|2)（V为一个图的顶点集），但还是有些例外。比如，给定一个有向图Ｇ的邻接矩阵Ａ，我们可以在Ο(|V|)时间内判断图G是否包含一个通用汇点，即一个入度为|V|-1出度为0的顶点。请给出这样的算法。

Solution

命题1：若A[i,j]==1,i不是通用汇点

命题2：若A[i,j]==0,j不是通用汇点

这两条都可以用定义轻易证明

我们可以在O(V)时间内判断k是否是通用汇点，如下：

我们的判断函数里应该调用O(1)次这个函数

我们有如下   

循环不变式：每次迭代前，i之前和j之前但不包括i的点都不是通用汇点。

注意到这个循环不变式与

“每次迭代前，j之前和i之前但不包括j的点都不是通用汇点”的区别

在这里我们可以把这个问题想象成在矩阵中找到这样一个十字：

行上全为0，列上全为1，交点处为0

这就是i与j地位有些许差异区别的原因

下面我来详细证明一下：

1.if A[i,j]==1, 表明i不可能是通用汇点，因为第i行上有了1，i++，依旧满足循环不变式

2.If A[i,j]==0, 说明第j列上有了0，如果j不在对角线上的话j就不是通用汇点，但会有i==j时的A[j,j]==0的情况，这显然是对的，这怎么办呢？这时候就体现出了我们这个循环不变式的优势了，j++即可，这时i还是原来的j，循环不变式依旧成立。

最后，如果i>V，则全都不符合，否则j>V，可能的只有i，检验后输出即可。

 

参考资料：http://www.ithao123.cn/content-8148817.html