【算法导论】33.4：两个最近的点

1.定义：最近的含义，欧几里得距离最小，((x1-x2)^2+(y1-y2)^2)^(1/2)

2.运用：traffic-control系统，用以检测可能的碰撞。

3.分治算法解决：

http://www.cs.mcgill.ca/~cs251/ClosestPair/ClosestPairDQ.html

算法：

0：把所有的点按照横坐标排序
1：用一条竖直的线L将所有的点分成两等份
2：递归算出左半部分的最近两点距离d1，右半部分的最近两点距离d2，取d=min(d1,d2)
3：算出“一个在左半部分，另一个在右半部分”这样的点对的最短距离d3。
4：结果＝min(d1,d2,d3)

关键就是这第3步。貌似这需要n^2的时间，把左边每个点和右边每个点都对比一下。其实不然。秘密就在这里。

首先，两边的点，与分割线L的距离超过d的，都可以扔掉了。
其次，即使两个点P1,P2（不妨令P1在左边，P2在右边）与分割线L的距离（水平距离）都小于d，如果它们的纵坐标之差大于d，也没戏。
就是这两点使得搜索范围大大减小：
对于左半部分的，与L的距离在d之内的，每个P1来说：右半部分内，符合以上两个条件的点P2最多只有6个！
原因就是：
d是两个半平面各自内，任意两点的最小距离，因此在同一个半平面内，任何两点距离都不可能超过d。
我们又要求P1和P2的水平距离不能超过d，垂直距离也不能超过d，在这个d*2d的小方块内，最多只能放下6个距离不小于d的点。

因此，第3步总的比较距离的次数不超过n*6。

第3步的具体做法是：

3.1 删除所有到L的距离大于d的点。 O(n)
3.2 把右半平面的点按照纵坐标y排序。 O(nlogn)
3.3 对于左半平面内的每个点P1，找出右半平面内纵坐标与P1的纵坐标的差在d以内的点P2，计算距离取最小值，算出d3。 O(n*6) = O(n)

因为3.2的排序需要O(nlogn)，
所以整个算法的复杂度就是O(n((logn)^2))。


改进：

我们对3.2这个排序的O(nlogn)不太满意。
既然整个算法是递归的，我们可以利用第2步的子递归中已经排好序的序列，在第3.2部归并这两个子列，这样3.2的复杂度变成了O(n)。

这样，整个算法就是O(nlogn)的。