梯度下降法

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　在求解机器学习算法的模型参数，即无约束优化问题时，梯度下降（Gradient Descent）是最常采用的方法之一，另一种常用的方法是最小二乘法。这里就对梯度下降法做一个完整的总结。

1. 梯度

　　　　在微积分里面，对多元函数的参数求∂偏导数，把求得的各个参数的偏导数以向量的形式写出来，就是梯度。比如函数f(x,y), 分别对x,y求偏导数，求得的梯度向量就是(∂f/∂x, ∂f/∂y)^T,简称grad f(x,y)或者▽f(x,y)。对于在点(x₀,y₀)的具体梯度向量就是(∂f/∂x₀, ∂f/∂y₀)^T.或者▽f(x₀,y₀)，如果是3个参数的向量梯度，就是(∂f/∂x, ∂f/∂y，∂f/∂z)^T,以此类推。

　　　　那么这个梯度向量求出来有什么意义呢？他的意义从几何意义上讲，就是函数变化增加最快的地方。具体来说，对于函数f(x,y),在点(x₀,y₀)，沿着梯度向量的方向就是(∂f/∂x₀, ∂f/∂y₀)^T的方向是f(x,y)增加最快的地方。或者说，沿着梯度向量的方向，更加容易找到函数的最大值。反过来说，沿着梯度向量相反的方向，也就是 -(∂f/∂x₀, ∂f/∂y₀)^T的方向，梯度减少最快，也就是更加容易找到函数的最小值。

 　　　　

2. 梯度下降与梯度上升

　　　　在机器学习算法中，在最小化损失函数时，可以通过梯度下降法来一步步的迭代求解，得到最小化的损失函数，和模型参数值。反过来，如果我们需要求解损失函数的最大值，这时就需要用梯度上升法来迭代了。

　　　　梯度下降法和梯度上升法是可以互相转化的。比如我们需要求解损失函数f(θ)的最小值，这时我们需要用梯度下降法来迭代求解。但是实际上，我们可以反过来求解损失函数 -f(θ)的最大值，这时梯度上升法就派上用场了。

　　　　下面来详细总结下梯度下降法。        

3. 梯度下降法算法详解

3.1 梯度下降的直观解释

　　　　首先来看看梯度下降的一个直观的解释。比如我们在一座大山上的某处位置，由于我们不知道怎么下山，于是决定走一步算一步，也就是在每走到一个位置的时候，求解当前位置的梯度，沿着梯度的负方向，也就是当前最陡峭的位置向下走一步，然后继续求解当前位置梯度，向这一步所在位置沿着最陡峭最易下山的位置走一步。这样一步步的走下去，一直走到觉得我们已经到了山脚。当然这样走下去，有可能我们不能走到山脚，而是到了某一个局部的山峰低处。

　　　　从上面的解释可以看出，梯度下降不一定能够找到全局的最优解，有可能是一个局部最优解。当然，如果损失函数是凸函数，梯度下降法得到的解就一定是全局最优解。

3.2 梯度下降的相关概念

　　　　在详细了解梯度下降的算法之前，我们先看看相关的一些概念。

　　　　1. 步长（Learning rate）：步长决定了在梯度下降迭代的过程中，每一步沿梯度负方向前进的长度。用上面下山的例子，步长就是在当前这一步所在位置沿着最陡峭最易下山的位置走的那一步的长度。

　　　　2.特征（feature）：指的是样本中输入部分，比如样本（x₀,y₀）,（x₁,y₁）,则样本特征为x，样本输出为y。

　　　　3. 假设函数（hypothesis function）：在监督学习中，为了拟合输入样本，而使用的假设函数，记为h_θ(x)。比如对于样本（x_i,y_i）(i=1,2,...n),可以采用拟合函数如下： h_θ(x) = θ₀+θ₁x。

　　　　4. 损失函数（loss function）：为了评估模型拟合的好坏，通常用损失函数来度量拟合的程度。损失函数极小化，意味着拟合程度最好，对应的模型参数即为最优参数。在线性回归中，损失函数通常为样本输出和假设函数的差取平方。比如对于样本（x_i,y_i）(i=1,2,...n),采用线性回归，损失函数为：

             J(θ0,θ1)=∑i=1m(hθ(xi)−yi)2

 　　　　其中xi表示样本特征x的第i个元素，yi表示样本输出y的第i个元素，hθ(xi)为假设函数。   

3.3 梯度下降的详细算法

　　　　梯度下降法的算法可以有代数法和矩阵法（也称向量法）两种表示，如果对矩阵分析不熟悉，则代数法更加容易理解。不过矩阵法更加的简洁，且由于使用了矩阵，实现逻辑更加的一目了然。这里先介绍代数法，后介绍矩阵法。

 

3.3.1 梯度下降法的代数方式描述

　　　　1. 先决条件： 确认优化模型的假设函数和损失函数。

　　　　比如对于线性回归，假设函数表示为 hθ(x1,x2,...xn)=θ0+θ1x1+...+θnxn, 其中θi (i = 0,1,2... n)为模型参数，xi (i = 0,1,2... n)为每个样本的n个特征值。这个表示可以简化，我们增加一个特征x0=1 ，这样hθ(x0,x1,...xn)=∑i=0nθixi。

　　　　同样是线性回归，对应于上面的假设函数，损失函数为：

           J(θ0,θ1...,θn)=12m∑i=0m(hθ(x0,x1,...xn)−yi)2

 

　　　　2. 算法相关参数初始化：主要是初始化θ0,θ1...,θn,算法终止距离ε以及步长α。在没有任何先验知识的时候，我喜欢将所有的θ初始化为0， 将步长初始化为1。在调优的时候再 优化。

　　　　3. 算法过程：

　　　　　　1）确定当前位置的损失函数的梯度，对于θi,其梯度表达式如下：

　　　　　　　　∂∂θiJ(θ0,θ1...,θn)

　　　　　　2）用步长乘以损失函数的梯度，得到当前位置下降的距离，即α∂∂θiJ(θ0,θ1...,θn)对应于前面登山例子中的某一步。

　　　　　　3）确定是否所有的θi,梯度下降的距离都小于ε，如果小于ε则算法终止，当前所有的θi(i=0,1,...n)即为最终结果。否则进入步骤4.

　　　　　　4）更新所有的θ，对于θi，其更新表达式如下。更新完毕后继续转入步骤1.

　　　　　　　　θi=θi−α∂∂θiJ(θ0,θ1...,θn)

　　　　下面用线性回归的例子来具体描述梯度下降。假设我们的样本是(x1(0),x2(0),...xn(0),y0),(x1(1),x2(1),...xn(1),y1),...(x1(m),x2(m),...xn(m),yn),损失函数如前面先决条件所述：

　　　　J(θ0,θ1...,θn)=12m∑i=0m(hθ(x0,x1,...xn)−yi)2。

　　　　则在算法过程步骤1中对于θi 的偏导数计算如下： 　　

 　　　　∂∂θiJ(θ0,θ1...,θn)=1m∑j=0m(hθ(x0j,x1j,...xnj)−yj)xij

　　　　由于样本中没有x0上式中令所有的x0j为1.

　　　　步骤4中θi的更新表达式如下：

           θi=θi−α1m∑j=0m(hθ(x0j,x1j,...xnj)−yj)xij

　　　　从这个例子可以看出当前点的梯度方向是由所有的样本决定的，加1m 是为了好理解。由于步长也为常数，他们的乘机也为常数，所以这里α1m可以用一个常数表示。

　　　　在下面第4节会详细讲到的梯度下降法的变种，他们主要的区别就是对样本的采用方法不同。这里我们采用的是用所有样本。

3.3.2 梯度下降法的矩阵方式描述

　　　　这一部分主要讲解梯度下降法的矩阵方式表述，相对于3.3.1的代数法，要求有一定的矩阵分析的基础知识，尤其是矩阵求导的知识。

　　　　1. 先决条件： 和3.3.1类似， 需要确认优化模型的假设函数和损失函数。对于线性回归，假设函数hθ(x1,x2,...xn)=θ0+θ1x1+...+θnxn的矩阵表达方式为：

　　　　　hθ(x)=Xθ ，其中， 假设函数hθ(X)为mx1的向量,θ为nx1的向量，里面有n个代数法的模型参数。X为mxn维的矩阵。m代表样本的个数，n代表样本的特征数。

             损失函数的表达式为：J(θ)=12(Xθ−Y)T(Xθ−Y), 其中Y是样本的输出向量，维度为mx1.

　　　　2. 算法相关参数初始化: θ向量可以初始化为默认值，或者调优后的值。算法终止距离ε，步长α和3.3.1比没有变化。

　　　　3. 算法过程：

　　　　　　1）确定当前位置的损失函数的梯度，对于θ向量,其梯度表达式如下：

　　　　　　　　∂∂θJ(θ)

　　　　　　2）用步长乘以损失函数的梯度，得到当前位置下降的距离，即α∂∂θJ(θ)对应于前面登山例子中的某一步。

　　　　　　3）确定θ向量里面的每个值,梯度下降的距离都小于ε，如果小于ε则算法终止，当前θ向量即为最终结果。否则进入步骤4.

　　　　　　4）更新θ向量，其更新表达式如下。更新完毕后继续转入步骤1.

　　　　　　　　θ=θ−α∂∂θJ(θ)

　　　

　　　　还是用线性回归的例子来描述具体的算法过程。

　　　　损失函数对于θ向量的偏导数计算如下：

　　　　　　∂∂θJ(θ)=XT(Xθ−Y)

　　　　步骤4中θ向量的更新表达式如下：θ=θ−αXT(Xθ−Y)

　　　　对于3.3.1的代数法，可以看到矩阵法要简洁很多。这里面用到了矩阵求导链式法则，和两个矩阵求导的公式。

　　　　　　公式1：∂∂X(XXT)=2X

　　　　　　公式2：∂∂θ(Xθ)=XT

　　　　如果需要熟悉矩阵求导建议参考张贤达的《矩阵分析与应用》一书。

 

3.4 梯度下降的算法调优

　　　　在使用梯度下降时，需要进行调优。哪些地方需要调优呢？

　　　　1. 算法的步长选择。在前面的算法描述中，我提到取步长为1，但是实际上取值取决于数据样本，可以多取一些值，从大到小，分别运行算法，看看迭代效果，如果损失函数在变小，说明取值有效，否则要增大步长。前面说了。步长太大，会导致迭代过快，甚至有可能错过最优解。步长太小，迭代速度太慢，很长时间算法都不能结束。所以算法的步长需要多次运行后才能得到一个较为优的值。

　　　　2. 算法参数的初始值选择。 初始值不同，获得的最小值也有可能不同，因此梯度下降求得的只是局部最小值；当然如果损失函数是凸函数则一定是最优解。由于有局部最优解的风险，需要多次用不同初始值运行算法，关键损失函数的最小值，选择损失函数最小化的初值。

　　　　3.归一化。由于样本不同特征的取值范围不一样，可能导致迭代很慢，为了减少特征取值的影响，可以对特征数据归一化，也就是对于每个特征x，求出它的期望x¯和标准差std(x)，然后转化为：

　　　　　　x−x¯std(x)

　　　　这样特征的新期望为0，新方差为1，迭代次数可以大大加快。

4. 梯度下降法大家族（BGD，SGD，MBGD）

4.1 批量梯度下降法（Batch Gradient Descent）

　　　　批量梯度下降法，是梯度下降法最常用的形式，具体做法也就是在更新参数时使用所有的样本来进行更新，这个方法对应于前面3.3.1的线性回归的梯度下降算法，也就是说3.3.1的梯度下降算法就是批量梯度下降法。　　

　　　　θi=θi−α∑j=0m(hθ(x0j,x1j,...xnj)−yj)xij

　　　　由于我们有m个样本，这里求梯度的时候就用了所有m个样本的梯度数据。

4.2 随机梯度下降法（Stochastic Gradient Descent）

　　　　随机梯度下降法，其实和批量梯度下降法原理类似，区别在与求梯度时没有用所有的m个样本的数据，而是仅仅选取一个样本j来求梯度。对应的更新公式是：

　　　　θi=θi−α(hθ(x0j,x1j,...xnj)−yj)xij

　　　　随机梯度下降法，和4.1的批量梯度下降法是两个极端，一个采用所有数据来梯度下降，一个用一个样本来梯度下降。自然各自的优缺点都非常突出。对于训练速度来说，随机梯度下降法由于每次仅仅采用一个样本来迭代，训练速度很快，而批量梯度下降法在样本量很大的时候，训练速度不能让人满意。对于准确度来说，随机梯度下降法用于仅仅用一个样本决定梯度方向，导致解很有可能不是最优。对于收敛速度来说，由于随机梯度下降法一次迭代一个样本，导致迭代方向变化很大，不能很快的收敛到局部最优解。

　　　　那么，有没有一个中庸的办法能够结合两种方法的优点呢？有！这就是4.3的小批量梯度下降法。

4.3 小批量梯度下降法（Mini-batch Gradient Descent）

　　小批量梯度下降法是批量梯度下降法和随机梯度下降法的折衷，也就是对于m个样本，我们采用x个样子来迭代，1<x<m。一般可以取x=10，当然根据样本的数据，可以调整这个x的值。对应的更新公式是：

　　　　θi=θi−α∑j=tt+x−1(hθ(x0j,x1j,...xnj)−yj)xij

5. 梯度下降法和其他无约束优化算法的比较

　　　　在机器学习中的无约束优化算法，除了梯度下降以外，还有前面提到的最小二乘法，此外还有牛顿法和拟牛顿法。

　　　　梯度下降法和最小二乘法相比，梯度下降法需要选择步长，而最小二乘法不需要。梯度下降法是迭代求解，最小二乘法是计算解析解。如果样本量不算很大，且存在解析解，最小二乘法比起梯度下降法要有优势，计算速度很快。但是如果样本量很大，用最小二乘法由于需要求一个超级大的逆矩阵，这时就很难或者很慢才能求解解析解了，使用迭代的梯度下降法比较有优势。

　　　　梯度下降法和牛顿法/拟牛顿法相比，两者都是迭代求解，不过梯度下降法是梯度求解，而牛顿法/拟牛顿法是用二阶的海森矩阵的逆矩阵或伪逆矩阵求解。相对而言，使用牛顿法/拟牛顿法收敛更快。但是每次迭代的时间比梯度下降法长。

梯度下降法是一个用于寻找最小化成本函数的参数值的最优化算法。当我们无法通过分析计算(比如线性代数运算)求得函数的最优解时，我们可以利用梯度下降法来求解该问题。

梯度下降法的直觉体验

想象一个你经常用来吃谷物或储存受过的大碗，成本函数的形状类似于这个碗的造型。

碗表面上的任一随机位置表示当前系数对应的成本值，碗的底部则表示最优解集对应的成本函数值。梯度下降法的目标就是不断地尝试不同的系数值，然后评估成本函数并选择能够降低成本函数的参数值。重复迭代计算上述步骤直到收敛，我们就能获得最小成本函数值对应的最优解。

梯度下降法的过程

梯度下降法首先需要设定一个初始参数值，通常情况下我们将初值设为零(coefficient=0coefficient=0)，接下来需要计算成本函数 cost=f(coefficient)cost=f(coefficient) 或者 cost=evaluate(f(coefficient))cost=evaluate(f(coefficient))。然后我们需要计算函数的导数(导数是微积分的一个概念，它是指函数中某个点处的斜率值)，并设定学习效率参数(alpha)的值。

coefficient=coefficient−(alpha∗delta)

coefficient=coefficient−(alpha∗delta)

重复执行上述过程，直到参数值收敛，这样我们就能获得函数的最优解。

你可以看出梯度下降法的思路多么简单，你只需知道成本函数的梯度值或者需要优化的函数情况即可。接下来我将介绍如何将梯度下降法运用到机器学习领域中。

批量梯度下降法

所有的有监督机器学习算法的目标都是利用已知的自变量(X)数据来预测因变量(Y)的值。所有的分类和回归模型都是在处理这个问题。

机器学习算法会利用某个统计量来刻画目标函数的拟合情况。虽然不同的算法拥有不同的目标函数表示方法和不同的系数值，但是它们拥有一个共同的目标——即通过最优化目标函数来获取最佳参数值。

线性回归模型和逻辑斯蒂回归模型是利用梯度下降法来寻找最佳参数值的经典案例。

我们可以利用多种衡量方法来评估机器学习模型对目标函数的拟合情况。成本函数法是通过计算每个训练集的预测值和真实值之间的差异程度(比如残差平方和)来度量模型的拟合情况。

我们可以计算成本函数中每个参数所对应的导数值，然后通过上述的更新方程进行迭代计算。

在梯度下降法的每一步迭代计算后，我们都需要计算成本函数及其导数的情况。每一次的迭代计算过程就被称为一批次，因此这个形式的梯度下降法也被称为批量梯度下降法。

批量梯度下降法是机器学习领域中常见的一种梯度下降方法。

随机梯度下降法

处理大规模的数据时，梯度下降法的运算效率非常低。

因为梯度下降法在每次迭代过程中都需要计算训练集的预测情况，所以当数据量非常大时需要耗费较长的时间。

当你处理大规模的数据时，你可以利用随机梯度下降法来提高计算效率。

该算法与上述梯度下降法的不同之处在于它对每个随机训练样本都执行系数更新过程，而不是在每批样本运算完后才执行系数更新过程。

随机梯度下降法的第一个步骤要求训练集的样本是随机排序的，这是为了打乱系数的更新过程。因为我们将在每次训练实例结束后更新系数值，所以系数值和成本函数值将会出现随机跳跃的情况。通过打乱系数更新过程的顺序，我们可以利用这个随机游走的性质来避免模型不收敛的问题。

除了成本函数的计算方式不一致外，随机梯度下降法的系数更新过程和上述的梯度下降法一模一样。

对于大规模数据来说，随机梯度下降法的收敛速度明显高于其他算法，通常情况下你只需要一个小的迭代次数就能得到一个相对较优的拟合参数。

梯度下降法的一些建议

本节列出了几个可以帮助你更好地掌握机器学习中梯度下降算法的技巧：

绘制成本函数随时间变化的曲线：收集并绘制每次迭代过程中所得到的成本函数值。对于梯度下降法来说，每次迭代计算都能降低成本函数值。如果无法降低成本函数值，那么可以尝试减少学习效率值。

学习效率：梯度下降算法中的学习效率值通常为0.1，0.001或者0.0001。你可以尝试不同的值然后选出最佳学习效率值。

标准化处理：如果成本函数不是偏态形式的话，那么梯度下降法很快就能收敛。隐蔽你可以事先对输入变量进行标准化处理。

绘制成本均值趋势图：随机梯度下降法的更新过程通常会带来一些随机噪声，所以我们可以考虑观察10次、100次或1000次更新过程误差均值变化情况来度量算法的收敛趋势。

总结

* 本文主要介绍了机器学习中的梯度下降法，通过阅读本文，你了解到：

* 最优化理论是机器学习中非常重要的一部分。

* 梯度下降法是一个简单的最优化算法，你可以将它运用到许多机器学习算法中。

* 批量梯度下降法先计算所有参数的导数值，然后再执行参数更新过程。

* 随机梯度下降法是指从每个训练实例中计算出导数并执行参数更新过程。

 http://www.cnblogs.com/LeftNotEasy/archive/2010/12/05/mathmatic_in_machine_learning_1_regression_and_gradient_descent.html

梯度下降法是按下面的流程进行的：

    1）首先对θ赋值，这个值可以是随机的，也可以让θ是一个全零的向量。

    2）改变θ的值，使得J(θ)按梯度下降的方向进行减少。

    为了更清楚，给出下面的图：

这是一个表示参数θ与误差函数J(θ)的关系图，红色的部分是表示J(θ)有着比较高的取值，我们需要的是，能够让J(θ)的值尽量的低。也就是深蓝色的部分。θ0，θ1表示θ向量的两个维度。

    在上面提到梯度下降法的第一步是给θ给一个初值，假设随机给的初值是在图上的十字点。

    然后我们将θ按照梯度下降的方向进行调整，就会使得J(θ)往更低的方向进行变化，如图所示，算法的结束将是在θ下降到无法继续下降为止。

 上面这张图就是描述的一个局部最小点，这是我们重新选择了一个初始点得到的，看来我们这个算法将会在很大的程度上被初始点的选择影响而陷入局部最小点  

   下面我将用一个例子描述一下梯度减少的过程，对于我们的函数J(θ)求偏导J：（求导的过程如果不明白，可以温习一下微积分）

一个很重要的地方值得注意的是，梯度是有方向的，对于一个向量θ，每一维分量θi都可以求出一个梯度的方向，我们就可以找到一个整体的方向，在变化的时候，我们就朝着下降最多的方向进行变化就可以达到一个最小点，不管它是局部的还是全局的。

    用更简单的数学语言进行描述步骤2）是这样的：