lucas定理

今天遇到一道组合数取模的题，毫无疑问爆零了，我出题人真是个sb，连Lucas定理都不知道QAQ

Lucas定理： 求解C(n,m)%p ， n 和 m 是 非负整数 ， p是素数

结论1：Lucas（n，m，p） = C（n%p，m%p）* Lucas（n/p，m/p，p）

结论2. 把n写成p进制a[n]a[n-1]a[n-2]...a[0]，把m写成p进制b[n]b[n-1]b[n-2]...b[0]，则C(n,m)与C(a[n],b[n])*C(a[n-1],b[n-1])*C(a[n-2],b[-2])*....*C(a[0],b[0])模p同余。

*注：n,m不能大于10^5，不大于情况下用逆元的方法可以解决，如果大了就不能解决。

/* *  Created on: 2017-06-02 *      Author: zjq *      求C(n,m)%p, p为素数 *      Lucas定理： Lucas(n,m,p)=c(n%p,m%p)*Lucas(n/p,m/p,p); */#include <cstdio>#include <cstring>#include <cmath>#include <iostream>#include <algorithm>using namespace std;#define LL long longLL fac[20005];void init(LL p){    fac[0] =1;    for(LL i =1; i <= p; i++)        fac[i] = fac[i-1]*i % p;}LL exp_mod(LL a, LL b, LL p){    LL tmp = a % p, ans =1;    while(b)    {        if(b & 1)  ans = ans * tmp % p;        tmp = tmp*tmp % p;        b >>=1;    }    return  ans;}LL C(LL n, LL m, LL p){    if(m > n)    return 0;    return  fac[n]*exp_mod(fac[m]*fac[n-m], p-2, p) % p;//逆元}LL Lucas(LL n, LL m, LL p){    if(m ==0)    return 1;    return  (C(n%p, m%p, p)*Lucas(n/p, m/p, p))%p;}int main(){freopen("comb.in","r",stdin);freopen("comb.out","w",stdout);LL n,m,p;scanf("%lld %lld %lld",&n,&m,&p);init(p);printf("%lld\n",Lucas(n,m,p));    return 0;}

另一种

现在目标是求Cmn%pCnm%p，p为素数（经典p=1e9+7）

虽然有Cmn=n!m!(n−m)!Cnm=n!m!(n−m)!，但由于取模的性质对于除法不适用，所以Cmn%pCnm%p≠(n!%pm!%p∗(n−m)!%p)%p(n!%pm!%p∗(n−m)!%p)%p

所以需要把“除法”转换成“乘法”，才能借助取模的性质在不爆long long的情况下计算组合数。这时候就需要用到“逆元”！

  逆元：对于a和p，若a*b%p≡1，则称b为a%p的逆元。

那这个逆元有什么用呢？试想一下求(ab)(ab)%p，如果你知道b%p的逆元是c，那么就可以转变成(ab)(ab)%p = a*c%p = (a%p)(c%p)%p

那怎么求逆元呢？这时候就要引入强大的费马小定理！

  费马小定理：对于a和素数p，满足$a^{p-1}$%p≡1

接着因为ap−1ap−1 = ap−2∗aap−2∗a，所以有ap−2∗aap−2∗a%p≡1！对比逆元的定义可得，ap−2ap−2是a的逆元！

所以问题就转换成求解ap−2ap−2，即变成求快速幂的问题了（当然这需要满足p为素数）。

现在总结一下求解Cmn%pCnm%p的步骤：

1. 通过循环，预先算好所有小于max_number的阶乘（%p）的结果，存到fac[max_number]里 (fac[i] = i!%p)
2. 求m!%p的逆元（即求fac[m]的逆元）：根据费马小定理，x%p的逆元为xp−2xp−2，因此通过快速幂，求解fac[m]p−2fac[m]p−2%p，记为M
3. 求(n-m)!%p的逆元：同理为求解fac[n−m]p−2fac[n−m]p−2%p，记为NM
4. Cmn%pCnm%p = ((fac[n]*M)%p*NM)%p

#include <iostream>  #include <cstdio>  #include <cstdlib>  #include <cstring>  #include <algorithm>  #include <cmath>  using namespace std;  typedef long long ll;  typedef long double ld;  const ld eps=1e-10;  const int inf = 0x3f3f3f;  const int maxn = 100005;  ll fac[maxn];    ll pow_mod(ll a,ll b,ll mod)  {      ll ret = 1;      while(b)      {          if(b & 1) ret = (ret*a)%mod;          a = (a*a)%mod;          b >>= 1;      }      return ret;  }    ll Fac(ll p)  {      fac[0] = 1;      for(int i = 1;i <= p;i++)      {          fac[i] = (fac[i-1] * i)%p;      }  }    ll lucas(ll n,ll m,ll p)  {      ll ret = 1;      while(n && m)      {          ll a = n % p;          ll b = m % p;          if(a < b)              return 0;          ret = (ret*fac[a]*pow_mod(fac[b]*fac[a-b]%p,p-2,p))%p;                n /= p;          m /= p;      }      return ret%p;  }      int main()  {      int t;      scanf("%d",&t);      while(t--)      {          ll a,b,p;          scanf("%I64d%I64d%I64d",&a,&b,&p);          Fac(p);          ll ans = lucas(a+b,b,p);          printf("%I64d\n",ans);      }  }