二叉树的简单应用--表达式树
来源:互联网 发布:python的idle在哪 编辑:程序博客网 时间:2024/06/06 20:39
表达式树
算数表达式是分层的递归结构,一个运算符作用于相应的运算对象,其运算对象又可以是任意复杂的表达式。二叉树的递归结构正好用来表示这种表达式。下面只讨论二元表达式。
二元表达式可以很自然的联系到二叉树:以基本运算对象作为叶节点中的数据;以运算符作为非叶节点中的数据,其两棵子树是它的运算对象,子树可以是基本运算对象,也可以是复杂表达式。如图是一个表达式树。
前缀、中缀和后缀表达式
中缀表达式(中缀记法)
我们平时缩写的表达式,将运算符写在两个操作数中间的表达式,称作中缀表达式。在中缀表达式中,运算符有不同的优先级,圆括号用于改变运算顺序,这使得运算规则比较复杂,求值过程不能直接从左到右顺序进行,不利于计算机处理。
后缀表达式
将运算符写在两个操作数之后的表达式称作后缀表达式。后缀表达式中没有括号,从而运算符没有优先级。后缀表达式的求值过程能够严格按照从左到右的顺序进行,有利于计算机处理。
前缀表达式
前缀表达式是将运算符写在两个操作数之前的表达式。和后缀表达式一样,前缀表达式没有括号,运算符没有优先级,能严格按照从右到左的顺序计算。
另外,算式表达式和表达式树的关系如下:
- 表达式树的先根遍历:前缀表达式
- 表达式树的中根遍历:中缀表达式
- 表达式树的后根遍历:后缀表达式
表达式的转换
利用表达式树
给定一个表达式的中缀形式:(4+1*(5-2))-6/3
首先将每个运算加上括号,区分优先级,得到(4+(1*(5-2)))-(6/3)
括号外的-优先级最低,作为根节点,(4+(1*(5-2)))作为左子树,(6/3)作为右子树;
递归的转换4+(1*(5-2)),+最为根节点,4是左子树,(1*(5-2))是右子树。*是右子树的根节点,1是左子树,(5-2)是右子树。最后计算(5-2),-是根节点,5是左子树,2是右子树。得到的表达式树如上图。
构造好表达式树之后,前缀表达式和中缀表达式可根据先根遍历和后根遍历得到。
前缀表达式:- + 4 * 1 - 5 2 / 6 3
后缀表达式:4 1 5 2 - * + 6 3 / -
利用栈
将中缀表达式转换为后缀表达式
step1:初始化一个栈和一个后缀表达式字符串
step2:从左到右依次对中缀表达式中的每个字符进行以下处理,直到表达式结束
- 如果字符是‘(’,将其入栈
- 如果字符是数字,添加到后缀表达式的字符串中
- 如果字符是运算符,先将栈顶优先级不低于该运算符的运算符出栈,添加到后缀表达式中,再将该运算符入栈。当‘(’在栈中是,优先级最低
- 如果字符是‘)’,将栈顶元素出栈,添加到后缀表达式中,直到出栈的是‘(’
step3:如果表达式结束,但栈中还有元素,将所有元素出栈,添加到后缀表达式中
例如给定一个表达式的中缀形式:(4+1*(5-2))-6/3,栈中和表达式的变化如下表所示:
|扫描到的元素|栈|后缀表达式|说明|
最后得到后缀表达式为4 1 5 2 - * + 6 3 / -
将中缀表达式转换为前缀表达式
中缀表达式转换到前缀表达的方法和转换到后缀表达式过程一致,细节上有所变化
step1:初始化两个栈s1 和s2
step2:从右到左依次对中缀表达式中的每个字符进行以下处理,直到表达式结束
- 如果字符是‘)’,将其入栈
- 如果字符是数字,添加到s2中
- 如果字符是运算符,先将栈顶优先级不低于该运算符的运算符出栈,添加到s2中,再将该运算符入栈。当‘)’在栈中是,优先级最低
- 如果字符是‘(’,将栈顶元素出栈,添加到s2中,直到出栈的是‘)’
step3:如果表达式结束,但栈中还有元素,将所有元素出栈,添加s2中
step4:将栈s2中元素依次出栈,即得到前缀表达式
给定一个表达式的中缀形式:(4+1*(5-2))-6/3,其前缀形式为 - + 4 * 1 - 5 2 / 6 3
表达式的计算
中缀表达式的计算我们已经非常清楚,前缀和后缀表达式更适合计算机处理
后缀表达式的计算
后缀表达式没有括号,运算符的顺序即为实际运算顺序,在求值过程中,当遇到运算符时,只要取得前两个操作数就可以立即进行计算。当操作数出现时,不能立即求值,需要先保存等待运算符。对于等待中的操作数而言,后出现的先运算,所以需要一个栈辅助操作。
后缀表达式的运算过程如下:
step1:设置一个栈
step2:从左到右对后缀表达式中的字符进行以下处理:
- 如果字符是数字,现将其转化为数字,然后入栈
- 如果字符是运算符,出栈两个值进行计算。计算结果入栈
- 重复以上步骤,直到后缀表达式扫描结束,栈中最后一个元素就是表达式的结果。
给定后缀表达式4 1 5 2 - * + 6 3 / -,依次将4 1 5 2 入栈,当扫描到-时,2,5出栈,计算5-2=3;将3入栈,此时栈中元素为4 1 3。接着扫描到*,3 1出栈,计算1*3=3,3入栈,栈中元素为4 3,。扫描+,3 4出栈,计算4+3=7,7入栈。接着6 3 入栈,栈中该元素为7 6 3,扫描到/,3 6出栈,计算6/3=2,2入栈,栈中元素为7 2.扫描-,2 7 出栈,计算7-2=5,5入栈。表达式扫描完毕,栈中元素为5,表达式结果为5.
前缀表达式的计算
前缀表达式的计算扫描顺序从右到左,其他和后缀表达式的计算完全一致。
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