乘法逆元

概述

对于一个模方程ax≡1(mod m)，x就是a的乘法逆元，记作a−1。
那么求a/b mod m的时候，求a∗b−1 mod m$就行了。
ps：和模方程一样，当(a,m)|1（即(a,m)=1）的时候存在解，否则无解。

方法1

用扩展欧几里得算法即可求得x。

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){    if (!b) {x=1;y=0;return a;}    int r=exgcd(b,a%b,x,y),t=x;x=y;y=t-a/b*y;    return r;}int mul_INV(int a,int m){    int x,y;if (exgcd(a,m,x,y)!=1) return -1;    return (x%m+m)%m;}

方法2

一种递推的算法，可以O(p)推出1~p-1的逆元（算出INV[i]的前提是INV[i]存在），由于>p的逆元可以回到1~p-1，所以不用求。
首先1−1≡1(mod p)，设p=a∗i+r，则a=⌊p/i⌋,r=p mod i，放到mod p的意义下：
a∗i+r≡0(mod p)
同乘i−1，r−1，得：
a∗(r−1+i−1≡0(mod p)
i−1≡−a∗r−1(mod p)
i−1≡−⌊p/i⌋∗(p mod i)(mod p)
所以说INV[i]=-(p/i)*INV[p%i]。

方法3

根据费马小定理，当p为素数，a为正整数，gcd(a,p)=1时，ap−1≡1(mod p)，所以ap−2∗a≡1(mod p)，则ap−2 mod m就是a的逆元。

模板

HDU1576，求A/B%MOD。

#include<cstdio>using namespace std;const int MOD=9973;int te,A,B;int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){    if (!b) {x=1;y=0;return a;}    int r=exgcd(b,a%b,x,y),t=x;x=y;y=t-a/b*y;    return r;}int mul_INV(int a,int m){    int x,y;if (exgcd(a,m,x,y)!=1) return -1;    return (x%m+m)%m;}int main(){    freopen("mul_INV.in","r",stdin);    freopen("mul_INV.out","w",stdout);    scanf("%d",&te);    for (int i=1;i<=te;i++)    {        scanf("%d%d",&A,&B);        printf("%d\n",A*mul_INV(B,MOD)%MOD);    }    return 0;}