联合权值——数论

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题目来源

洛谷p1351

题目描述

无向连通图G 有n 个点，n - 1 条边。点从1 到n 依次编号，编号为 i 的点的权值为W i ，每条边的长度均为1 。图上两点( u , v ) 的距离定义为u 点到v 点的最短距离。对于图G 上的点对( u, v) ，若它们的距离为2 ，则它们之间会产生Wu×Wv 的联合权值。

请问图G 上所有可产生联合权值的有序点对中，联合权值最大的是多少？所有联合权值之和是多少？

输入输出格式

输入格式：
输入文件名为link .in。

第一行包含1 个整数n 。

接下来n - 1 行，每行包含 2 个用空格隔开的正整数u 、v ，表示编号为 u 和编号为v 的点之间有边相连。

最后1 行，包含 n 个正整数，每两个正整数之间用一个空格隔开，其中第 i 个整数表示图G 上编号为i 的点的权值为W i 。

输出格式：
输出文件名为link .out 。

输出共1 行，包含2 个整数，之间用一个空格隔开，依次为图G 上联合权值的最大值

和所有联合权值之和。由于所有联合权值之和可能很大，输出它时要对10007 取余。

输入输出样例

输入样例#1：
5
1 2
2 3
3 4
4 5
1 5 2 3 10
输出样例#1：
20 74

说明

本例输入的图如上所示，距离为2 的有序点对有( 1,3) 、( 2,4) 、( 3,1) 、( 3,5) 、( 4,2) 、( 5,3) 。

其联合权值分别为2 、15、2 、20、15、20。其中最大的是20，总和为74。

【数据说明】

对于30% 的数据，1 < n≤ 100 ；

对于60% 的数据，1 < n≤ 2000；

对于100%的数据，1 < n≤ 200 , 000 ，0 < wi≤ 10, 000 。

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解题思路

• 观察样例说明，可以发现每相隔两个距离的点会正，反各计算两次。由于权值计算符合乘法交换律，那么可以只按照其中的一种顺序计算后结果乘二
• 由于两个间隔距离为二的点会产生联合权值，而这两个点相对于其中间的那一个点都间隔一个距离。因此我们可以枚举中间点。使与中间点相连的所有节点两两组合。
• 对于每个中间点，枚举所有与他相连的点，将该点与已经遍历过的点的权值和相乘。然后将该点放入已遍历过的点的序列中。这样所得到的结果就是对每一个联合权值只按照一种顺序计算所得到的结果。
• 求最大的联合权值可以先求出每一个中间点的最大联合权值后从中找出最大值，而每一个点的最大联合权值是其中权值最大的两个点的权值之积。
• 注意：本题中的最大值不需要取模，仅权值之和需要取模
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源代码

#include<iostream>#include<queue>#include<cstdio>#include<cstring>using namespace std;struct set;long long ans = 0;int head[1000000];int dis[1000000];int i = 0;int n;long long MAX = -1;long long data[1000000];struct edge {    int next;    int to;} edge[1000000];void add(int from,int to) {    edge[++i].next = head[from];    edge[i].to = to;    head[from] = i;}int main() {    freopen("in.txt","r",stdin);    cin >> n ;    int u,v;    for(int i = 1; i < n; i++) {        scanf("%d%d",&u,&v);        add(u,v);        add(v,u);    }    for(int i = 1; i <= n; i++){        scanf("%d",&data[i]);        data[i] = data[i] % 10007;    }    for(int i = 1;i <= n;i++){        long long sum = 0;        long long MAX1 = -1,MAX2 = -1;        for(int j = head[i];j != 0;j = edge[j].next){            if(data[edge[j].to] > MAX1){ // 计算最大值和次大值                MAX2 = MAX1;                MAX1 = data[edge[j].to];            }else if(data[edge[j].to] > MAX2)                MAX2 = data[edge[j].to];            ans = (ans + sum * data[edge[j].to]) % 10007; // 讲该点与已经遍历过的点的权值和相乘            sum = (sum + data[edge[j].to]) % 10007; //计算已经遍历过的点的权值和            MAX = max(MAX,MAX1 * MAX2); // 对比当前中间点的最大权值与之前所得到的最大权值        }    }    cout << MAX << " " << (ans * 2) % 10007;//结果为当前计算值二倍}