容斥原理及其应用
来源:互联网 发布:mac office 破解版 编辑:程序博客网 时间:2024/06/10 02:01
容斥原理及其应用
关键词:容斥原理;路径选择;组合数学
概念
计数是组合数学中常见的一类问题。为了实现无重复无遗漏的计数,可以计先算出总数,再排除不符合条件的数目。 本文介绍了容斥原理的基本定理,并给出了证明,并对广义容斥原理进行了说明,最后用广义容斥原理解决了在限制条件下的路径组合问题,有较强的背景意义。
容斥原理是一种重要的组合数学方法,可以求解任意大小的集合,或者计算复合事件的概率。在计数时,必须注意无一重复,无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算,研究出一种新的计数方法。这种方法的基本思路是:先不考虑重叠的情况,把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来,然后再把计数时重复计算的数目排斥出去,使得计算的结果既无遗漏又无重复,这种计数的方法称为容斥原理.要计算几个集合并集的大小,我们要先将所有单个集合的大小计算出来,然后减去所有两个集合相交的部分,再加回所有三个集合相交的部分,再减去所有四个集合相交的部分,依此类推,一直计算到所有集合相交的部分。
容斥原理
定义及证明
假设N是一些目标的集合,并令
—-先求出N中所有物体的个数,然后去掉具有性质
集合
按照这种理论可以把多个特征推广到n维,那么可以得到以下的定理 定理1 集合N中不具有n个特征的目标个数将有下列公式给出
运算规律就是多个的组合,正负性是根据组合数的奇偶性决定的,奇数为负,偶数为正。\
证明: n=2的情况,上述已经讨论过了,现在假设n=3,则根据公式可以推导出,\
这里看到该公式有1+3+3+1=8项.
当n为一般时,该式的左边是对N中的不具有性质
个性质
边净增0来建立公式的合理性.
首先,添加1个性质
由于
图论中的应用
给定一个有限的无向图G = (V, E) ,这里V是顶点集, E是边集,且完全子图定义为:它的顶点是V的子集,在这些顶点中任两点都有E中的边相连接. 一个具有k个顶点的完全子图称为一个完全k-子图. 下面假定2≤k≤n,其中n是G的顶点数,顶点v∈V 的次数记为d(v) ,定义为以v作为一个端点的边数. 显然,若一个图G不包含完全k-子图,则存在关于它的顶点的次数和它的边数的某些限制,Zarankiewicz的证明采用了反证法,巧妙的应用了容斥原理的对偶形式得到一个与题设矛盾的结论。\
此外,应用容斥原理可以求出图顶点染色的色多项式.\
假设有4个顶点的圈,顶点和边数依次为
用容斥原理可得
广义容斥原理
首先定义集合N和性质
….
则
定理 广义容斥原理定义如下:给定集合N和性质
考虑特殊情况,当m=0的时候,即可得到以下公式:
也就是上述讨论的没有相同元素的交集情形。
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