【Hackerrank 101Hack 43】【JZOJ5135】K-Inversion Permutations 题解

题目大意

      求长度为 n、逆序对数量为 k 的排列的数量。
      n,k<=1e5

【50%】n, k<=1000

      设 f[i][j] 表示长度为 i、逆序对数量为 j 的方案数。
      f[i][j]=∑i−1now=0f[i−1][j−now]

【100%解法1】

      考虑每个元素的贡献（该元素前面有多少个比它大），可以得到一个贡献序列 B。其中该序列满足 0<=B[i]<=i−1，且 ∑B[i]=k。
      该序列与原序列唯一对应，所以我们要求有多少不同的 B 序列。

      考虑 B[i] 的生成函数： 1+x+x2+...+xi−1=1−xi1−x，因此最后和为 k 的方案数就是 ∏ni=11−xi1−x 的 xk 的系数。

      来一个不清真的做法。

      设 F(x)=∏ni=11−xi1−x，则 ln F(x)=∑ni=1ln(1−xi)−n ln(1−x)
      ln(1−x)=−(x+x22+x33+...)
      ln(1−xi)=−(xi+x2i2+x3i3+...)
      用调和级数那样 O(k log k) 处理 ln F(x)，FFT 算 eln F(x)

      以上抄自 WerKeyTom_FTD 给的笔记，我还没学会

【100%解法2】

      来一个清真的做法。

∏i=1n1−xi1−x  =  ∏ni=1(1−xi)(1−x)n  =  ∏i=1n(1−xi)×∑i=0n(i+n−1n−1)xi

      所以现在分成前面和后面两个部分，最后枚举前面是 xi，后面就是 xk−i，把对应系数乘起来即可。后面的系数是普通组合数，所以目标变成算前面的系数。

      前面部分可以看成：有 n 个物品，第 i 个物品大小为 i，且选了 x 个物品的话方案数要乘上 (−1)x，求大小为 k 的方案数。

      这就是个经典 dp。设 f[i][j] 表示用 i 个互不相同的物品、和为 j 的方案数。我们限定这 i 个物品是有序（从小到大）的。
      转移有两种操作：一种是全体体积加 1，一种是新加一个大小为 1 的物品。（注意新加一个物品的时候，−1 的指数会变，所以这时候算方案数是 f[i][j]−=...。）
      这样垒上去可能会使某些物品大小超过 n，所以当某个物品超限的时候要及时减去，即 f[i][j]+=f[i−1][j−(n+1)]。（注意这里 −1 的指数又变了，所以是加等于。）

      然后会发现物品最多只需要 k√ 个，所以复杂度是 O(kk√)

代码

//解法2

#include<cmath>#include<cstdio>#include<algorithm>#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)#define fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)using namespace std;typedef long long LL;const int maxn=1e5+5, maxsqrtk=448;const LL mo=1e9+7;int n,k;LL fac[2*maxn],ny[2*maxn];LL mi(LL x,LL y){    LL re=1;    for(; y; y>>=1, x=x*x%mo) if (y&1) re=re*x%mo;    return re;}void C_Pre(int n){    fac[0]=ny[0]=1;    fo(i,1,n) fac[i]=fac[i-1]*i%mo;    ny[n]=mi(fac[n],mo-2);    fd(i,n-1,1) ny[i]=ny[i+1]*(i+1)%mo;}LL C(int n,int m) {return fac[n]*ny[m]%mo*ny[n-m]%mo;}LL f[maxsqrtk+2][maxn],g[maxn];int main(){    scanf("%d %d",&n,&k);    C_Pre(2*max(n,k));    f[0][0]=g[0]=1;    fo(i,1,maxsqrtk)        fo(j,1,k)        {            if (j>=i) (f[i][j]-=f[i-1][j-i])%=mo; // 新加一个大小为1的物品            if (j>=i) (f[i][j]+=f[i][j-i])%=mo;  // 全体+1            if (j>=n+1) (f[i][j]+=f[i-1][j-(n+1)])%=mo;            (g[j]+=f[i][j])%=mo;        }    LL ans=0;    fo(i,0,k) (ans+=g[i]*C(k-i+n-1,n-1))%=mo;    printf("%lld\n",(ans+mo)%mo);}