ML的45问（4）——评估假设、贝叶斯与PAC可学习

1. 评估假设的意义

评估假设的3个意义：

1. 确定哪个假设更具有普适性。
2. 当前样本训练出的数据错误率的可信度是多少。
3. 如何利用有限的数据，获得更好的假设。

2. 置信区间的计算

前提：

1. n>30
2. 如果没有其他信息提供，则真实错误率errorD(h)与样本错误率errors(h)是一致的。

计算示例，一般多用在计算最少赢手机的样例数是多少的题目。例如下题：

要测试一假设h,其errorD(h)已知在0.2到0.6的范围内。要保证95%双侧置信区间的宽度小于0.1，最少应搜集的样例数是多少？

解：查表可知，置信度为95%，则Z为1.96，因此应当满足下式：

1.96×errorD(h)×(1−errorD(h))n−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√<0.05

n>errorD(h)×(1−errorD(h))0.000651

然后解得n=385

其实这里用errorD(h)和errors(h)没有太大区别，因为就像前提2所示的。

3. 贝叶斯学习方法的特性

1. 观察到的每个训练样例可以增量的降低或升高某假设的估计概率。而其他算法遇到不一致时，会完全去掉该假设。
2. 先验知识可以与观察数据一起决定假设的最终概率。
3. 贝叶斯方法可允许假设做出不确定性预测。
4. 新的实力分类可由多个假设一起作出预测，用他们的概率来加权。

4. 最大后验假设与一致学习器的关系

一致学习器指的是它输出的假设在训练样例上有0错误率。
若有均匀的先验概率且无噪声。那么每一个输出假设都是最大后验假设。

5. 最大后验假设与最小误差平方和一致的条件

hMAP=argmaxh∈HP(h|D)

hMAP=argmaxh∈HP(D|h)P(h)P(D)贝叶斯公式

hMAP=argmaxh∈HP(D|h)P(h)省略P(D)

hML=argmaxh∈HP(D|h)每个概率都一样，变成最大似然

hML=argmaxh∈H∏i=1mP(di|h)求积

hML=argmaxh∈H∏i=1m12πσ2−−−−√e−12σ2(di−μ)2中心极限定理

hML=argmaxh∈H∏i=1m12πσ2−−−−√e−12σ2(di−h(xi))2换成可算

hML=argmaxh∈H∑i=1m[In12πσ2−−−−√−12σ2(di−h(xi))2]取对数

hML=argmaxh∈H∑i=1m[−12σ2(di−h(xi))2]省略常数项

hML=argminh∈H∑i=1m[12σ2(di−h(xi))2]最大变最小

最小误差平方和=argminh∈H∑i=1m[(di−h(xi))2]最大变最小

6. 最大后验假设与最小描述长度编码的等价关系

hMAP=argmaxh∈HP(D|h)P(h)省略P(D)

hMAP=argmaxh∈Hlog2P(D|h)+log2P(h)求对数

hMAP=argminh∈H−log2P(D|h)−log2P(h)最大变最小

hMAP=argminLcH(h)+Lc(D|h)(D|h)转换

hMDL=argminLc1(h)+Lc2(D|h)

若CH=C_1,C(D|h)=C_2,则hMAP=hMDL

7. 朴素贝叶斯分类器过程

1. 首先找出类别概率P（yes）、P（no），是多少就是多少，不用m估计。
2. 再计算测试样例中，每个属性值的条件概率：
   p(yes|h)=p(yes)×p(特征1|yes)×p(特征2|yes)×p(特征n|yes)
   p(no|h)=p(no)×p(特征1|no)×p(特征2|no)×p(特征n|no)
3. 最后进行归一化

8. 打散的概念

对于一个给定集合S={x1,x2,...,xd}，如果一个假设类H能够实现集合S中所有元素的任一中标记方式，则称H能够分散S。

也就是说，假设空间H是S的所有标记总和。

9. VC维

指能够被H打散的最大集合的大小，线性面里N维的VC维是N+1。

10. PAC学习定义

能够从合理数量的训练数据中，通过合理的计算量可靠的学习到知识。
要求：
1） 不要求零错误率，错误率可以在某个非常小的常数范围内。
2）不要求对所有数据都能成功预测，失败概率也可以在某个非常小的常数范围内。