RMQ求区间最值

RMQ算法，是一个快速求区间最值的离线算法，预处理时间复杂度O（n*log(n)），查询O(1)，所以是一个很快速的算法，当然这个问题用线段树同样能够解决。

问题：给出n个数ai，让你快速查询某个区间的的最值。

（一）首先是预处理，用动态规划（DP）解决。

设A[i]是要求区间最值的数列，F[i, j]表示从第i个数起连续2^j个数中的最大值。（DP的状态）

例如：

A数列为：3 2 4 5 6 8 1 2 9 7

F[1，0]表示第1个数起，长度为2^0=1的最大值，其实就是3这个数。同理 F[1,1] = max(3,2) = 3, F[1，2]=max(3,2,4,5) = 5，F[1，3] = max(3,2,4,5,6,8,1,2) = 8;

并且我们可以容易的看出F[i,0]就等于A[i]。（DP的初始值）

这样，DP的状态、初值都已经有了，剩下的就是状态转移方程。

我们把F[i，j]平均分成两段（因为f[i，j]一定是偶数个数字），从 i 到i + 2 ^ (j - 1) - 1为一段，i + 2 ^ (j - 1)到i + 2 ^ j - 1为一段(长度都为2 ^ (j - 1))。用上例说明，当i=1，j=3时就是3,2,4,5 和 6,8,1,2这两段。F[i，j]就是这两段各自最大值中的最大值。于是我们得到了状态转移方程F[i, j]=max（F[i，j-1], F[i + 2^(j-1)，j-1]）。

void Init(int num) //预处理->O(nlogn)  {      for(int i=1;i<=n;++i)          //这里要根据情况初始化        mi[i][0]=mm[i][0]=a[i];                       for(int j = 1; j < 20; ++j)         for(int i = 1; i <= num; ++i)              if(i + (1 << j) - 1 <= num)              {                 maxsum[i][j] = max(maxsum[i][j - 1], maxsum[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);                  minsum[i][j] = min(minsum[i][j - 1], minsum[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);              }  }  

（二）然后是查询。

假如我们需要查询的区间为(i,j)，那么我们需要找到覆盖这个闭区间(左边界取i，右边界取j)的最小幂（可以重复，比如查询5，6，7，8，9，我们可以查询5678和6789）。

因为这个区间的长度为j - i + 1,所以我们可以取k=log2( j - i + 1)，则有：RMQ(A, i, j)=max{F[i , k], F[ j - 2 ^ k + 1, k]}。

举例说明，要求区间[2，8]的最大值，k = log2（8 - 2 + 1）= 2，即求max(F[2, 2]，F[8 - 2 ^ 2 + 1, 2]) = max(F[2, 2]，F[5, 2])；

在这里我们也需要注意一个地方，就是<<运算符和+-运算符的优先级。+ - 的优先级高于 << 运算符。

查询代码:

int RMQ(int L,int R)  // 查询{    int k =0;    while((1<<(k+1))<=R-L+1) k++;    int mi=min(minsum[L][k],minsum[R-(1<<k)+1][k]);    int ma=max(maxsum[L][k],maxsum[R-(1<<k)+1][k]);}

例题： 南阳理工119

#include <iostream>#include <stdio.h>#include <string.h>using namespace std;const int ma=1e5+5,siz=50;int a[ma],mi[ma][siz],mm[ma][siz];void Init(int n){    for(int i=1;i<=n;++i)    // 这里要注意初始化        mi[i][0]=mm[i][0]=a[i];    for(int j=1;j<20;++j)        for(int i=1;i<=n;++i)        if(i+(1<<j)-1<=n)    {        mm[i][j]=max(mm[i][j-1],mm[i+(1<<(j-1))][j-1]);        mi[i][j]=min(mi[i][j-1],mi[i+(1<<(j-1))][j-1]);    }}int work(int l,int r){    int k=0;    while((1<<(k+1))<=r-l+1) ++k;    int low=min(mi[l][k],mi[r-(1<<k)+1][k]);    int high=max(mm[l][k],mm[r-(1<<k)+1][k]);    return high-low;}int main(){    int n,q;    while(scanf("%d%d",&n,&q)!=EOF)    {        for(int i=1;i<=n;++i)            scanf("%d",&a[i]);        Init(n);        int x,y;        while(q--)        {            scanf("%d%d",&x,&y);            printf("%d\n",work(x,y));        }    }    return 0;}