bzoj 4916: 神犇和蒟蒻 杜教筛

题意

求A=∑Ni=1μ(i2)和B=∑Ni=1φ(i2)
n<=1e9,答案模1e9+7

分析

md第一问是什么鬼？？？
第二问想到是杜教筛（因为不会洲阁筛），但是没想到用哪个函数和f卷起来。

其实考虑到f(d)=φ(d)∗d，要把常数消掉的话，最好就是把f和g(d)=d卷起来，然后就可以得到

∑i=1n∑j|if(j)∗g(ij)=∑i=1n∑j|ig(j)f(ij)

容易发现左边等于

∑i=1ni∗∑j|iφ(j)=∑i=1ni2=n∗(n+1)∗(2n+1)6

右边的话，化简一下可以得到

∑d=1ng(d)∗∑i=1⌊nd⌋f(i)=∑d=1nd∗S(⌊nd⌋)

合并一下

S(n)=n∗(n+1)∗(2n+1)6−∑d=2nd∗S(⌊nd⌋)

直接上分块大法即可。

代码

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstdlib>#include<cstring>#include<algorithm>#include<map>using namespace std;typedef long long LL;const int N=10000005;const int MOD=1000000007;int n,s[N],phi[N],prime[N/10],tot;bool not_prime[N];map<int,int> w;void get_prime(int n){    phi[1]=1;    for (int i=2;i<=n;i++)    {        if (!not_prime[i]) prime[++tot]=i,phi[i]=i-1;        for (int j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=n;j++)        {            not_prime[i*prime[j]]=1;            if (i%prime[j]==0)            {                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];                break;            }            phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);        }    }    for (int i=1;i<=n;i++) s[i]=(s[i-1]+(LL)i*phi[i]%MOD)%MOD;}int solve(int n){    if (n<=10000000) return s[n];    if (w[n]) return w[n];    int ans=0;    for (int i=2,last;i<=n;i=last+1)    {        last=n/(n/i);        ans=(ans+(LL)((LL)last*(last+1)/2-(LL)i*(i-1)/2)*solve(n/i)%MOD)%MOD;    }    ans=((LL)n*(n+1)%MOD*(n*2+1)%MOD*166666668%MOD-ans+MOD)%MOD;    w[n]=ans;    return ans;}int main(){    puts("1");    get_prime(10000000);    scanf("%d",&n);    printf("%d",solve(n));    return 0;}