概率论-【第一章】随机事件与概率

由于时间紧，不能将相关概念一一陈述。

随机事件的关系和运算

随机试验

在抛硬币的过程中，我们注意到，在相同条件下，我们每一次抛硬币的时候，我们无法得知硬币最后静止时，硬币的哪一面向上，但是我们通过不断的抛硬币的过程中发现，结果无非是正方两面。

因此我们定义随机试验：
1. 试验可以在相同条件下重复地进行。
2. 试验的结果不止一个，且事先可以明确实验的所有可能结果，
3. 试验之前无法预知会出现哪一个结果。

样本空间

已知一个随机事件，其所有可能结果组成的集合称为样本空间。随机事件可能的结果称为样本点。

随机事件

样本空间中满足某些条件的子集，称为随机事件。

事件的关系

1. 包含关系：A⊂B⇔事件A发生B必然发生
2. 相等关系：A=B⇔A⊂B,B⊂A

3. 和关系 ：A∪B⇔事件A与事件B至少发生一个

   对于事件的关系而言，用语言的描述更能让人理解事件的”真正”关系.
   积事件： A∩B⇔事件A与事件B同时发生。

   所谓的事件同时发生，由于随机事件是样本空间的子集，也就是它由一系列的样本点组成。所以，两个事件的样本点有交集时，相同的样本点发生，即为事件A与事件B同时发生。

4. 差事件：A−B⇔B不发生而A发生。

也就是说A−B=A−A∩B=A∩B¯¯¯

在以后的学习上可能会出现独立事件，首先我们明确的是，此时给出的公式是通用公式是用于任何事件关系，而不管其是否独立。

5. 互不相容事件：A∩B=ϕ⇔ 事件A与事件B不肯能同时发生
6. 对立事件：A∩B=ϕ,A∪B=Ω↔A与B必有一个发生且仅有一个发生。

若A、B为对立事件则其非事件仍为对立事件。

最后一个是比较容易疏忽的概念
7. 完全事件组：事件两两互不相容、且事件的和事件为样本空间。

运算不讲

随机事件的概率与运算

概率

对于概率的概念，在概率论中是以函数的形式定义的，太**了。
这个函数P(A)具有：（A为随机事件）
1. 非负性
2. 规范性（样本空间的概率为1）
3. 可加性（也就是相当于完全事件组的子集，不两两互不相容其和运算为完全事件组的子集）

概率的性质

1. 不可能事件的概率为0
2. 对于两两互不相容的事件P(∪ni=1Ai)=∑ni=1P(Ai)
3. 对于两个事件A 、B，如果A⊂B则有P(B−A)=P(B)−P(A)
4. 加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)

5. 对于任何事件A,有P(A¯¯¯)=1−P(A)

   对于事件发生的概率，有一个问题值得思考，当其概率为0时，它是不是不可能事件？当一个事件的概率为1时，它是不是样本空间的概率？这个结论虽然不是那么明显，但确实都不是，但我们却不知道证明，此时我们可以举出反例，假设数轴上0到1内所有的点为样本空间，则数轴上的任一一点为样本点，此时此样本点的概率为0，我们不能说其是不可能事件，相反除此样本点的事件为1则该事件一定不是样本空间的概率。

求概率的方法

在这第二节，引入了概率论最最基础的两个模型，一个是古典型概率，一是几何型概率

古典型概率

1. 试验中基本事件数目有限
2. 基本事件发生的可能性相同

几何型概率

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积或度数)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何型概率。

全概率公式

公式表示若事件A1，A2，…，An构成一个完备事件组且都有正概率，则对任意一个事件B都有公式成立

贝叶斯公式

在全概率的条件下：

1. 引起A发生有互不相容的n种情况。
2. 事件A发生依赖事件Bi的发生。

贝叶斯公式的厉害之处在于它可以得出在A发生之后B发生的概率。

事件得独立性和独立重复试验

若事件满足P(AB)=P(A)P(B)则称事件与相互独立，简称A与B相互独立。

若A、B相互独立且概率不为0，则独立与不互相容不能同时存在。

三个事件相互独立

P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(B),P(BC)=P(B)P(C),P(ABC)=P(ABC)

三个事件两两独立

P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(B),P(BC)=P(B)P(C)

定理1，若A、B为两个事件，AB相互独立,则P(A|B)=P(A)。
定理2，若A、B相互独立则A,B¯¯¯、A¯¯¯、B、A¯¯¯，B¯¯¯相互独立

伯努利试验

条件概率

其他

关于事件独立性、和对立事件、和互不相容之间得关系。
在同一样本空间下：
如果两个个事件是对立关系那么这两个事件得独立性是什么？
如果两个个事件是互不相容关系那么这两个事件得独立性是什么？

若A、B相互独立且概率不为0，则独立与不互相容不能同时存在。

根据这个若独立或者互不相容是否能退出A B一定不具有独立性。