扩展欧几里得算法
来源:互联网 发布:网络搬砖项目 编辑:程序博客网 时间:2024/06/05 21:52
扩展欧几里得算法是啥,那就要先知道什么是欧几里得算法
欧几里得算法
扩展欧几里得算法是欧几里得算法的推广,利用欧几里得算法的思想和递归求得贝祖等式a*x+b*y=gcd(a,b)不定方程中的一组x和y的解。
原理如下:
设a>b
- 当b=0时,很显然a*x=gcd(a,b)=a,所以x=1,而y为任意数,为了同一和方便我们令y=0;
- 当a>b>0时,设有两组等式a*x1+b*y1=gcd(a,b),b*x2+(a%b)*y2=gcd(b,a%b)。根据欧几里得算法的递归思想,a和b的gcd为t,而a=q*b+r,r=a-q*b为a,b的线性组合,又因为a%t=0,b%t=0,所以线性组合r%t=0,又有r=a%b,所以gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。
联立等式有a*x1+b*y1=b*x2+(a%b)*y2,又有a%b=a-floor(a/b)*b[这里面floor()是向下取整的意思],
即:ax1+by1=bx2+[a-floor(a/b)*b]*y2,我们将a,b视为未知数所以由x1*a+y1*b=y2*a+[x2-floor(a/b)*y2]*b可得
x1=y2
y1=[x2-floor(a/b)*y2]
这样我们就找到了扩展欧几里得的递归算法了
总结一下
欧几里得算法的递归求最大公约数是通过递归知道m=q*t+0,在下一次递归时余数r=0,递归结束,在扩展欧几里得算
法中同样是递归当b=0时递归结束,又有原理中情况1,b=0,则x=1,y=0;
void Ex_gcd(int a, int b, int &x, int &y){ if(b == 0)//递归出口 { x = 1; y = 0; return; } int x1, y1; Ex_gcd(b, a%b, x1, y1); x = y1; y = x1-(a/b)*y1;}
上述是求得一组x0,y0解利用这个组求通解怎么求呢?
有a(x0+n*b)+b*(y0-n*a)=gcd(a,b)
所以x=x0+n*b时n(…,-2,-1,0,1,2,…),x就是方程的解系了,对应每一个x都应该有一个y与其相对,实际求解
时先不考虑y,当x求出时,将x带回方程求得y即可
当这里的x就包含了所有的解嘛?
显然不是得,我们将原方程两边同除于gcd(a,b),设a1=a/gcd(a,b),b1=b/gcd(a,b)
a1x+b1y=1,与原方程为同解,此时
x=x0+n*b1
又知b1=b/gcd(a,b)<=b,所以这里的x比原x包含更多的解
求最小正数解
while(x<0)x+=b1;求解一般线性方程
对于一般的线性方程ax+by=m,我们怎么来求解呢
首先要判断这个方程是否有解,若m%gcd(a,b)==0则方程是有解的,证明如下:已知a%gcd(a,b)=0,b%gcd(a,b)=0,则a,b的线性组合(a*x+b*y)%gcd(a,b)=0,即m%gcd(a,b)=0,证毕
求解方法:
设a1=a/gcd(a,b),b1=b/gcd(a,b),m1=m/gcd(a,b)
①a1*x+b1*y=m1与原方程通解,那么当先求得②a1*x+b1*y=1(a1,b1互质,gcd(a1,b1)=1)的一组解x0,y0,则x=x0*m1,y=y0*m1,即x0=x/m1,y0=y/m1代入②式中化简即为①式,故求解一般的线性方程ax+by=m时,先用扩展欧几里得算法求得x0即可,x=x0*m1
d=gcd(a,b); a=a/d; b=b/d; c=c/d; Ex_gcd(a,b,x,y); x=x*c;扩展欧几里得的应用——求解逆元
当遇到a/b%m时如何求解呢,对于除法没有取模运算
逆元的概念就是(a*_a)%m=1,中_a就是a的乘法逆元,它等价除法,即a/b%m=a*_b%m
(a*_a)%m=1等价于表达式a*x+m*y=1,之后利用扩展欧几里得算法求解的x0
最小正整数逆元就为x=(x0%m+m)%m[根据同解系可知]
那么当m为负数怎么办呢
用算法使m=-m即可,一句话m=abs(m),a,b,同理
附上hdu一道求逆元的题
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1576
#include <iostream>#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <string.h>#include <math.h>using namespace std;void Ex_gcd(int a,int b,int &x,int &y){ if(b==0) { x=1; y=0; return; } int x1,y1; Ex_gcd(b,a%b,x1,y1); x=y1; y=x1-a/b*y1;}int main(){ int t; scanf("%d",&t); while(t--) { int a,b; scanf("%d%d",&a,&b); int x,y; Ex_gcd(b,9973,x,y); x=(x+9973)%9973; printf("%d\n",(a%9973*x%9973)%9973); } return 0;}
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