算法导论--快速排序

快速排序算法最坏情况下有O（n^2）的时间复杂度，但是在实践过程中快速排序往往有很好的平均性能，在O(nlogn)中的常数项很小。《算法导论》里有很多快速排序的分析，在这里我们不做太多的数学分析，仅仅从直觉上来谈这个算法。不仅如此，《算法导论》里的Partitioning算法也和我之前在国内教材上看的不一样，而且更容易理解。
快速排序采用“分治法”的思想，递归解决问题。

这里的输入时一个数组A，然后给下标从p到r之间的数排序。
对递归比较熟练的同学应该一下就能看懂这种代码，就3行而已。

接下来是最关键的Partitioning算法
伪代码如下：

解释一下，这个算法最终生成的结果是A[r]左边的元素都小于等于A[r]，A[r]右边的元素都大于等于A[r]。
举个实际例子：

很简单，最后4的左边都比4小，4的右边都比4大。

接下来分析一下快速排序的性能，分为最坏情况，最好情况和一般情况。

最坏情况下：

最坏情况下发生在当partitioning算法生成了两个子问题：一个有n-1个元素，一个有0个元素。这种很不平衡的划分导致一下递归式：

直觉上，如果我们把每一层递归所花费的时间加起来，我们会得到一个多项式，很显然这个复杂度是O(n^2)。所以如果partitioning每次划分都不平衡的话，时间复杂度是O(n^2)，在基本有序的情况下，插入排序的时间复杂度是O(n)

最好的情况

最好的情况其实就是，partitioning算法划分了两个规模几乎一样的子问题，递归式如下：

我们把每一次递归所花费的时间加起来，得到的最后的复杂度为O(nlgn)

一般情况

一般情况下, 快排的时间花费很接近最好情况，也就是说，

即使是这种很不均衡的划分，最后计算出来的时间复杂度也是O(nlgn)，具体的分析细节见《算法导论》

随机化快速排序

很显然我们希望，每次划分都尽量是均衡的，所以当待排序的数组是完全随机的时候，快速排序往往表现良好，每次递归划分都还比较均衡。但是我们往往不知道待排序的数组是个什么情况，所以我们可以将之前描述的快速排序稍加改进：

在每次递归划分的时候，我们随机生成作为piviot的那个数字，也就是A[i]，i都是每次随机生成的p到r之间的一个数字，这样保证了每次划分都是随机的。

《算法导论》后边有快速排序的各种什么概率分析，这里略过了，以后再说。