堆的一些性质以及证明

这里说的堆(heap)是一种 nearly complete binary tree:除了最低的一层外，其它层填充满了结点，并且最底层的结点是从左到右填充的。

这里假定root结点的索引从1 开始。

它有如下的性质：

1. 对于一个包含 n个元素的heap, 它的高度为 floor(lg n)

证明： 用 h表示这个heap的高度。则有：

2^h <= n <= 2^(h+1) -1 < 2^(h+1)

对上面取对数：

h < = lgn < h + 1

考虑到 h为整数， h只能是 floor(lg n).

2. 对于以数组形式存储的 n个元素的heap, 叶子结点的索引为 floor(n/2)+1, floor(n/2)+2, ..., n

证明： 假定叶子结点索引为 floor(n/2), 那么， 2 * floor(n/2) < n, 表示这个叶子节点存在子结点。。，也就是它不是叶子结点。

2 * (floor(n/2)+1) =2 * floor(n/2) + 2 > n, 不存在子节点，所以，索引为 floor(n/2)+1的结点是叶子结点。

3. n个元素的heap, 它的叶子结点的个数为 ceiling[n/2]

证明： 根据 2可以得出这个结论。

4. 对于 n个元素的heap, 最多有ceiling(n/2^(h+1))个高度为h的结点

证明 i： 用归纳法。

当 h = 0时的结点为叶子结点，根据3， 个数为 ceiling(n/2) = ceiling(n/2^(h+1)（当 h = 0).

所以， h =0时成立。

假定 h-1时成立，那么此时高度 h-1的结点个数为 ceiling(n/2^(h-1)).

那么， 考虑去掉所有叶子结点的heap T'.它的节点数为 n - ceiling[n/2] = floor(n/2).

在原来堆中高度为 h的结点在 T'中对应的高度为 h-1.

那么在原来堆中高度h的结点的个数等于 T'中高度为 h-1的个数：

ceiling( floor(n/2)/2^(h-1)) <= ceiling((n/2)/2^(h-1)) = ceiling(n/2^h).

证明 ii:

假定结点 i高度为 h,那么， i, i*2, i*4, ..., i*2^h 为 i的最长路径，并且 i*2^(h+1) > n.

于是有，

i*2^h <= n < i * 2^(h+1)

i > n/2^(h+1),  i < 2 * (n/2^(h+1))

所以， i的取值为, ceiling(n/2^(h+1)), ceiling(n/2^(h+1)) + 1, ..., ceiling(n/2^(h+1)) + ceiling(n/2^(h+1)) - 1

共有 ceiling(n/2^(h+1)) 个。

参考：

1.

http://www2.cs.sfu.ca/CourseCentral/307/petra/2009/SLN_2.pdf

2.

http://blog.csdn.net/wdq347/article/details/8822741

3.

https://github.com/gzc/CLRS