卡特兰数——Catalan数

卡特兰数是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。由以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)命名。

卡塔兰数的一般项公式为                       

通常使用的递归式：  h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1);

卡特兰数经常出现在ACM或者数论中，这是一个挺神奇的数列...

举个例子:给定节点数为N，问能组成多少种不同形状的二叉树？

【分析】

（1）先考虑只有一个节点的情形，设此时的形态有f(1)种，那么很明显f(1)=1

（2）如果有两个节点呢？我们很自然想到，应该在f(1)的基础上考虑递推关系。那么，如果固定一个节点后，左右子树的分布情况为1=1+0=0+1，故有f(2) = f(1) + f(1)

（3）如果有三个节点，（我们需要考虑固定两个节点的情况么？当然不，因为当节点数量大于等于2时，无论你如何固定，其形态必然有多种）我们考虑固定一个节点，即根节点。好的，按照这个思路，还剩2个节点，那么左右子树的分布情况为2=2+0=1+1=0+2。 
所以有3个节点时，递归形式为f(3)=f(2) + f(1)*f(1) + f(2)。(注意这里的乘法，因为左右子树一起组成整棵树，根据排列组合里面的乘法原理即可得出)

（4）那么有n个节点呢？我们固定一个节点，那么左右子树的分布情况为n-1=n-1 + 0 = n-2 + 1 = … = 1 + n-2 = 0 + n-1。此时递归表达式为f(n) = f(n-1) + f(n-2)f(1) + f(n-3)f(2) + … + f(1)f(n-2) + f(n-1)

接下来我们定义没有节点的情况，此时也只有一种情况，即f(0)=1 
那么则有: 
f(0)=1，f(1)=1 
f(2)=f(1)f(0)+f(0)f(1) 
f(3)=f(2)f(0)+f(1)f(1)+f(0)f(2) 
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. 
. 
. 
f(n)=f(n-1)f(0)+f(n-2)f(1)+……….+f(1)f(n-2)+f(0)f(n-1) 

也就是先取一个点作为顶点，然后左边依次可以取0至N-1个相对应的，右边是N-1到0个，两两配对相乘，

就是h(n)=h(0)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) + ...... + h(n-1)h(0)

N个节点的二叉树有h(n)种形状 

能用卡特兰数解决的问题还有很多种

1、出栈次序问题。一个栈(无穷大)的进栈序列为1、2、3、...、n，有多少个不同的出栈序列?
举例：有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？

(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)

2、将多边行划分为三角形问题。将一个凸多边形区域分成三角形区域(划分线不交叉)的方法数?

举例：在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?

//这道题曾经出现在一次ICPC中...印象挺深刻的...但是因为时间比较久所以具体是哪场已经忘记了...

3、一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果她从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？

因为在大数卡特兰数的计算时经常会用到取模运算，这里的取模运算需要记得有一点证明：

a/b % Mod = a % (b * Mod) /b % Mod;

遇到有除法的取模运算时，一定要注意这一点！

这里给出两种卡特兰数的计算代码

#include <stdio.h>  #include <cstring>  #include <iostream>  #include<vector>  #include<cmath>  #include<algorithm>  using namespace std;  const int N = 2000005;  const int n=148955;  bool a[N];  int pr[n];  #define MOD 1000000007  int num;  void Prime2()  {      memset(a, 0, N*sizeof(a[0]));      int i, j;      num = 0;      a[0]=a[1]=1;      for(i = 2; i < N; ++i)      {          if(!(a[i])) pr[num++] = i;          for(j = 0; (j<num && i*pr[j]<N); ++j)          {              a[i*pr[j]] = 1;              if(!(i%pr[j])) break;          }      }  }  int val[n],len;  void calcJC(int n,int id,int flag){      int ans=0,y,p=pr[id];      while(n){          y=n/p;          ans+=y;          n=y;      }      val[id]=val[id]+ans*flag;  }  long long extgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)  {      if(b==0)      {          x=1,y=0;          return a;      }      long long r=extgcd(b,a%b,x,y);      long long t=x;x=y;y=t-a/b*y;      return r;  }  int MPow(int p,int e){      if(e==0)return 1;      else if(e==1)return p;      int t=p,ans=1;      while(e){          if(e&1)ans=(ans*t)%MOD;          t=(t*t)%MOD;          e>>=1;      }      return ans;  }  int main()  {  /*  FILE *p1,*p2;    p1=fopen("3.in","r");    p2=fopen("3.out","w");*/    Prime2();      int txt,l=1,k,i;      long long ans,x,y;      while(~scanf("%d",&k) ){                    memset(val,0,sizeof(val));          for(i=0;pr[i]<=2*k;++i)              calcJC(2*k,i,1);          for(i=0;pr[i]<=k;++i)              calcJC(k,i,-2);          ans=1;          for(i=0;pr[i]<=2*k;++i){              ans=(ans*MPow(pr[i],val[i]))%MOD;          }          extgcd(k+1,MOD,x,y);          x=(x+MOD)%MOD;          ans=(ans*x)%MOD;          printf("%lld\n",ans);      }    //  fclose(p1); //   fclose(p2);    return 0;  }  

#include <cstdio>#include <algorithm>#include <cassert>using namespace std;#define ALL(v) (v).begin(),(v).end()#define cl(a,b) memset(a,b,sizeof(a))#define clr clear()#define pb push_back#define mp make_pair#define fi first#define se secondtypedef long long LL;const LL mod = 1e9 + 7;const int maxn = 1000000 + 10;LL f[maxn];//******************************  //返回d=gcd (a,b);和对应于等式ax+by=d中的x,y  long long extend_gcd (long long a,long long b,long long &x,long long &y)  {      if (a==0&&b==0) return -1;//无最大公约数      if (b==0){x=1;y=0;return a;}      long long d=extend_gcd(b,a%b,y,x);      y-=a/b*x;      return d;  }  //*********求逆元素*******************  //ax = 1(mod n)  long long mod_reverse (long long a,long long n)  {      long long x,y;      long long d=extend_gcd(a,n,x,y);      if (d==1) return  (x%n+n)%n;      else return -1;  }   void init(){  f[0] = 1;  for( int i = 1; i < maxn; i++ ){    LL ret = mod_reverse(i+1,mod);    f[i] = f[i-1] * (4 * i - 2) % mod * ret % mod;  }}int main(){  init();  int n;  while(~scanf("%d",&n)){    assert(1 <= n && n <= 1000000);    printf("%lld\n",f[n]);  }  return 0;}