Catalan数—卡特兰数

卡特兰数又称卡塔兰数，英文名Catalan number，是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)的名字来命名，其前几项为 : 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...

卡特兰数Cn满足以下递推关系[1]  ：

原理

编辑

令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足递推式[2]  ：

h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)*h(0) (n>=2)

例如：h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2

h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=1*2+1*1+2*1=5

另类递推式[3]  ：

h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);

递推关系的解为：

h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,...)

递推关系的另类解为：

h(n)=c(2n,n)-c(2n,n-1)(n=0,1,2,...)

求卡特兰数：

Java：

import java.math.BigInteger;import java.util.ArrayList;import java.util.Arrays;import java.util.HashSet;import java.util.Scanner;public class Main {     public static void main(String[] args) {    Scanner in=new Scanner(System.in);    BigInteger a[]=new BigInteger[105];    a[0]=BigInteger.ONE;    a[1]=BigInteger.ONE;    for(int i=2;i<=100;i++){    a[i]=a[i-1].multiply(BigInteger.valueOf(4*i-2)).divide(BigInteger.valueOf(i+1));    }    int n;    while(in.hasNext()){    n=in.nextInt();    if(n==-1)break;    System.out.println(a[n]);    }                  }}

C++：

#include<cstdio>#include<iostream>using namespace std;int num[105][105];int main(){ num[0][1]=1; num[1][1]=1; int k=1; for(int i=2;i<=100;i++){    int mul=4*i-2,j=1,x;    while(j<=k){        int z=mul*num[i-1][j];        x=j;        num[i][x]+=z%10;        num[i][x+1]+=z/10;        for(int x=j,y=1;y<=5;y++)            if(num[i][x]>=10){                    num[i][x+1]+=(num[i][x]/10);                    num[i][x]=num[i][x]%10;                    x++;                }        j++;    }    for(int p=100;p>=1;p--)        if(num[i][p]!=0){        k=p;        break;        }    j=k;  while(j>=1){    num[i][j-1]+=(num[i][j]%(i+1)*10);    num[i][j]/=(i+1);    j--;  } } int n; while((cin>>n)&&n!=-1){  for(int i=100;i>=1;i--){    if(num[n][i]!=0){        for(int j=i;j>=1;j--){            cout<<num[n][j];        }        cout<<endl;        break;    } }}}