一个有意思的逻辑训练题目

题目如下：

有两个大于1小于100的自然数x,y，老师告诉小明两个数的和，告诉小强两个数的积。已知小明和小强足够聪明。

下面是两个人的对话：

小强：我不知道这两个数是多少。（<沉默中>...）
小明：我知道你不知道。（我不知道这两个数是多少，而且你也不知道。）
小强：那我知道了。（你说的对，不过我现在知道了。）
小明：那我也知道啦。（额...那我也知道啦。）

问这两个数是多少？

PS：个人觉得对话改成小括号里面的也是一样的，对解题逻辑没有影响。

下面是我们的逻辑链条：

step1  "小强：我不知道这两个数是多少。"

    常理来说，只给两个自然数x，y之积，小强有很大概率不知道这两个数是多少。但也有一些情况小强会知道，比方说这个积是21（只能分解为两个素数，那么这两个数只能是3和7）；或者是25（这两个数只能是5和5）；或者是27（这两个数只能是3和9）。换句话说，老师给小强的这个积x*y至少有3个素因子，且这三个素因子不全相同。

step2  “小明：我知道你不知道。”

    小明说的这句话就比较有意思啦。为什么小明就那么笃定小强一定不知道这两个数是多少呢？下面我们来一一分析：
    就是因为x*y至少有三个不全相同的素因子，小强才不知道这两个数x和y。
   小明敢如此笃定，一定是他知道的信息没有给小强推断出来这两个数的任何可能性。也即他知道x+y后，能判断出x和y没有都是素数的可能性，也没有一个是素数，另一个是这个素数的平方的可能性。

    根据1+1猜想（好像还没有完全证明）：即任意一个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和。

                                                              （当然，有些奇数也可以表示为两个素数的和，比如13可以表示为2和11）

            我们可以推知小明拿到的和x+y不可能是偶数 。（如果是的话，那么这两个数有可能都是素数，小强也就不敢那么笃定了）

            这样就完了吗？显然不。
           也就是说这两个数的和x+y是奇数就能保证这两个数不能同时是素数了吗，别忘了有个比较特殊的自然数2（既是偶数又是素数）。那么x+y是奇数，x+y-2还是奇数，且x+y-2是个奇合数（杜绝了一个是2，另一个是3,5,7,11，13这种可能性）

            除此之外，不要忘记了，x+y不能一个是某个素数，另一个是此素数的平方。

   至此，我们最好把x+y的可能性在1到200之内遍历一下 ：

           1到100+2之内（x+y-2是个奇合数）：

           11   17   23  27  29   35  37  41   47  51  53  57 59   65  67  71   77 79  83  87  89   95  97 101

          103到200之内的所有奇数也都满足（这个时候不会有2来参合了）

step3  “小强：那我知道啦”

          首先我们要明确的一点：小强知道了，但并不代表我们知道了。

 小强知道一偶一奇的时候已经知道这两个数了，那么x*y为三个因子，其中一个为2，另外两个也为质数且相同。

也即是，小强手里的x*y的三个因子有两种可能，假设n为质数且n不等于2

    其一：三个因子分别为：2，2，n

若x=4,y=n，奇偶，

若x=2,y=2n，同为偶

奇偶唯一，成立

 

    其二：2，n，n,（n>=3）

若x=2n,y=n，奇偶

若x=2,y=n^2，奇偶（质数的平方仍为奇数）

X、Y奇偶不唯一，不成立

 

所以小强手里的x*y的三个因子必定为2，2，n类型且其中一个数为4

小强知道x*y，进而可以求出x、y。

 

step4 小明：那我也知道啦。

  小明知道了x*y为三个因子，其中两个为2，另外一个为质数。

    并为2，2，n类型，同时x、y中一个为4。

 

结合x+y，进而求出另外一个数。