[BZOJ2037]Sue 的小球(sdtsc 2008)

题目描述

Sue和Sandy最近迷上了一个电脑游戏，这个游戏的故事发在美丽神秘并且充满刺激的大海上，Sue有一支轻便小巧的小船。然而，Sue的目标并不是当一个海盗，而是要收集空中漂浮的彩蛋，Sue有一个秘密武器，只要她将小船划到一个彩蛋的正下方，然后使用秘密武器便可以在瞬间收集到这个彩蛋。然而，彩蛋有一个魅力值，这个魅力值会随着彩蛋在空中降落的时间而降低，Sue要想得到更多的分数，必须尽量在魅力值高的时候收集这个彩蛋，而如果一个彩蛋掉入海中，它的魅力值将会变成一个负数，但这并不影响Sue的兴趣，因为每一个彩蛋都是不同的，Sue希望收集到所有的彩蛋。 然而Sandy就没有Sue那么浪漫了，Sandy希望得到尽可能多的分数，为了解决这个问题，他先将这个游戏抽象成了如下模型： 以Sue的初始位置所在水平面作为x轴。 一开始空中有N个彩蛋，对于第i个彩蛋，他的初始位置用整数坐标（xi,yi）表示，游戏开始后，它匀速沿y轴负方向下落,速度为vi单位距离/单位时间。Sue的初始位置为(x0,0)，Sue可以沿x轴的正方向或负方向移动，Sue的移动速度是1单位距离/单位时间，使用秘密武器得到一个彩蛋是瞬间的，得分为当前彩蛋的y坐标的千分之一。 现在，Sue和Sandy请你来帮忙，为了满足Sue和Sandy各自的目标，你决定在收集到所有彩蛋的基础上，得到的分数最高。

输入格式

第一行为两个整数N, x0用一个空格分隔，表示彩蛋个数与Sue的初始位置。 第二行为N个整数xi，每两个数用一个空格分隔，第i个数表示第i个彩蛋的初始横坐标。 第三行为N个整数yi，每两个数用一个空格分隔，第i个数表示第i个彩蛋的初始纵坐标。 第四行为N个整数vi，每两个数用一个空格分隔，第i个数表示第i个彩蛋匀速沿y轴负方向下落的的速度。

输出格式

一个实数，保留三位小数，为收集所有彩蛋的基础上，可以得到最高的分数。

样例输入

3 0
-4 -2 2
22 30 26
1 9 8

样例输出

0.000

数据范围：

N≤1000，对于100%的数据。 −104≤xi,yi,vi≤104

题解

这是一道当前决策影响未来“行动” 的费用的dp题目。

当前决策影响未来“行动” 的费用即指如果当前决策对未来的影响只与当前决策有关，则直接将对未来费用的影响，算作当前的决策费用计算，并通过状态传递；如果对未来的影响还与未来的情况有关，则新增状态假设未来的情况，待到未来决策时直接使用假设的状态。

先把所有的点包括起点按 x 值排序，这样题目就变成从起点出发， 每次可以向左或向右走到最近的某个彩蛋， 将其射落。
用f[i][j][1] 记已收集第i～j颗彩蛋停在i处时的最高分数，f[i][j][2] 记已收集第i~j颗彩蛋最后停在j处时的最高分数，w[i][j] 记除i～j颗彩蛋之外所有彩蛋速度之和(w[i][j]=∑(v)−∑jk=iv[k])。
已收集第i～j颗彩蛋后，由第i颗彩蛋移向第i-1颗彩蛋的过程中，只有第1~i-1颗，j+1~n颗彩蛋在下落，因此可以得到递推式：
f[i][j][1]=max(f[i+1][j][1]−w[i+1][j]∗(x[i+1]−x[i]),f[i+1][j][2]−w[i+1][j]∗(x[j]−x[i]));
f[i][j][2]=max(f[i][j−1][1]−w[i][j−1]∗(x[j]−x[i]),f[i][j−1][2]−w[i][j−1]∗(x[j]−x[j−1]));
最终结果ans=max(f[1][n][1],f[1][n][2])/1000.0;

代码

#include <cstdio>#include <cstring>#include <algorithm>#include <cmath>const int size = 1000+10;int n,x0;struct node {    int x,y,v;}a[size];int f[size][size][2],sum[size];int cmp(node a,node b) {    if(a.x==b.x)return a.y<b.y;    return a.x<b.x;}int main() {    scanf("%d%d",&n,&x0);    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i].x);    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i].y);    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i].v);    std::sort(a+1,a+n+1,cmp);    for(int i=1;i<=n;i++) sum[i]=sum[i-1]+a[i].v;    for(int i=1;i<=n;i++) {        f[i][i][0]=f[i][i][1]=a[i].y-abs(a[i].x-x0)*sum[n];    }    for(int i=2;i<=n;i++) {        for(int j=1;j+i-1<=n;j++) {            int k=j+i-1;            f[j][k][0]=std::max(f[j+1][k][1]+a[j].y-(sum[n]-sum[k]+sum[j])*abs(a[k].x-a[j].x),                                f[j+1][k][0]+a[j].y-(sum[n]-sum[k]+sum[j])*abs(a[j+1].x-a[j].x));            f[j][k][1]=std::max(f[j][k-1][0]+a[k].y-(sum[n]-sum[k-1]+sum[j-1])*abs(a[k].x-a[j].x),                                f[j][k-1][1]+a[k].y-(sum[n]-sum[k-1]+sum[j-1])*abs(a[k].x-a[k-1].x));        }    }    printf("%.3lf\n",(double)(std::max(f[1][n][0],f[1][n][1]))/1000.0);    return 0;}