动态规划之矩阵链乘法

来源：互联网发布：浙江卫视跑男网络直播编辑：程序博客网时间：2024/06/01 10:39

问题描述与分析：

给定n个矩阵的序列，（A1，A2…An）,我们希望计算他们的乘积
A1*A2..*An
例如如果矩阵链为（A1 A2 A3 A4 ）那么共有五种完全括号化的形式：
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运用动态规划方法：第一步：寻找最优子结构，为了对AiAi+1..Aj 进行括号化，假设最优括号化方案在  Ak,Ak+1之间，则首先计算 Ai..k和Ak+1..Aj 第二步：一个递归求解方案，令m[i,j]为Ai...j所需标量乘法的最小值即m[i,j]=m[i,k]+m[k+1,j]+pi-1*pk*pj矩阵 Ai 的大小 为 pi-1*pi第三步：  计算最优代价：void matrix_chain_order(int *p, int len, int m[N + 1][N + 1], int s[N + 1][N + 1]){         int i, j, k, t;         for (i = 0; i <= N; ++i)                 m[i][i] = 0;         for (t = 2; t <= N; t++)  //当前链乘矩阵的长度             {                 for (i = 1; i <= N - t + 1; i++)  //从第一矩阵开始算起，计算长度为t的最少代价                     {                        j = i + t - 1;//长度为t时候的最后一个元素                         m[i][j] = MAXVALUE;  //初始化为最大代价                     for (k = i; k <= j - 1; k++)   //寻找最优的k值，使得分成两部分k在i与j-1之间                             {                                 int temp = m[i][k] + m[k + 1][j] + p[i - 1] * p[k] * p[j];                                 if (temp < m[i][j])                                     {                                         m[i][j] = temp;   //记录下当前的最小代价                                        s[i][j] = k;      //记录当前的括号位置，即矩阵的编号                                     }                            }                     }             }     }

下面实现示例：

p={30*35,35*15,15*5,5*10,10*20,20*25};
N=6;

#include <iostream> using namespace std; #define N 6 #define MAXVALUE 1000000 void matrix_chain_order(int *p, int len, int m[N + 1][N + 1], int s[N + 1][N + 1]);void print_optimal_parents(int s[N + 1][N + 1], int i, int j); int main() {         int p[N + 1] = { 30,35,15,5,10,20,25 };         int m[N + 1][N + 1] = { 0 };         int s[N + 1][N + 1] = { 0 };         int i, j;         matrix_chain_order(p, N + 1, m, s);         cout << "m value is: " << endl;         for (i = 1; i <= N; ++i)            {                for (j = 1; j <= N; ++j)                         cout << m[i][j] << " ";                 cout << endl;            }       cout << "s value is: " << endl;         for (i = 1; i <= N; ++i)            {                for (j = 1; j <= N; ++j)                        cout << s[i][j] << " ";                cout << endl;            }        cout << "The result is:" << endl;         print_optimal_parents(s, 1, N);         system("pause");        return 0;     }void matrix_chain_order(int *p, int len, int m[N + 1][N + 1], int s[N + 1][N + 1]){         int i, j, k, t;         for (i = 0; i <= N; ++i)                 m[i][i] = 0;         for (t = 2; t <= N; t++)  //当前链乘矩阵的长度             {                 for (i = 1; i <= N - t + 1; i++)  //从第一矩阵开始算起，计算长度为t的最少代价                     {                        j = i + t - 1;//长度为t时候的最后一个元素                         m[i][j] = MAXVALUE;  //初始化为最大代价                     for (k = i; k <= j - 1; k++)   //寻找最优的k值，使得分成两部分k在i与j-1之间                             {                                 int temp = m[i][k] + m[k + 1][j] + p[i - 1] * p[k] * p[j];                                 if (temp < m[i][j])                                     {                                         m[i][j] = temp;   //记录下当前的最小代价                                        s[i][j] = k;      //记录当前的括号位置，即矩阵的编号                                     }                            }                     }             }     }//s中存放着括号当前的位置 void print_optimal_parents(int s[N + 1][N + 1], int i, int j) {         if (i == j)                 cout << "A" << i;        else             {                 cout << "(";                 print_optimal_parents(s, i, s[i][j]);                 print_optimal_parents(s, s[i][j] + 1, j);                 cout << ")";             }         }

m value is:0 15750 7875 9375 11875 151250 0 2625 4375 7125 105000 0 0 750 2500 53750 0 0 0 1000 35000 0 0 0 0 50000 0 0 0 0 0s value is:0 1 1 3 3 30 0 2 3 3 30 0 0 3 3 30 0 0 0 4 50 0 0 0 0 50 0 0 0 0 0The result is:((A1(A2A3))((A4A5)A6))请按任意键继续. . .

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