[BZOJ3672][NOI2014]购票-点分治-CDQ分治-斜率优化DP

购票

Description

今年夏天，NOI在SZ市迎来了她30周岁的生日。来自全国 n 个城市的OIer们都会从各地出发，到SZ市参加这次盛会。

全国的城市构成了一棵以SZ市为根的有根树，每个城市与它的父亲用道路连接。为了方便起见，我们将全国的 n 个城市用 1 到 n 的整数编号。其中SZ市的编号为 1。对于除SZ市之外的任意一个城市 v，我们给出了它在这棵树上的父亲城市 fv 以及到父亲城市道路的长度 sv。

从城市 v 前往SZ市的方法为：选择城市 v 的一个祖先 a，支付购票的费用，乘坐交通工具到达 a。再选择城市 a 的一个祖先 b，支付费用并到达 b。以此类推，直至到达SZ市。

对于任意一个城市 v，我们会给出一个交通工具的距离限制 lv。对于城市 v 的祖先 a，只有当它们之间所有道路的总长度不超过 lv 时，从城市 v 才可以通过一次购票到达城市 a，否则不能通过一次购票到达。对于每个城市 v，我们还会给出两个非负整数 pv,qv 作为票价参数。若城市 v 到城市 a 所有道路的总长度为 d，那么从城市 v 到城市 a 购买的票价为 dpv+qv。

每个城市的OIer都希望自己到达SZ市时，用于购票的总资金最少。你的任务就是，告诉每个城市的OIer他们所花的最少资金是多少。

Input

第 1 行包含2个非负整数 n,t，分别表示城市的个数和数据类型（其意义将在后面提到）。输入文件的第 2 到 n 行，每行描述一个除SZ之外的城市。其中第 v 行包含 5 个非负整数 f_v,s_v,p_v,q_v,l_v，分别表示城市 v 的父亲城市，它到父亲城市道路的长度，票价的两个参数和距离限制。请注意：输入不包含编号为 1 的SZ市，第 2 行到第 n 行分别描述的是城市 2 到城市 n。

Output

输出包含 n-1 行，每行包含一个整数。其中第 v 行表示从城市 v+1 出发，到达SZ市最少的购票费用。同样请注意：输出不包含编号为 1 的SZ市。

Sample Input

7 3
1 2 20 0 3
1 5 10 100 5
2 4 10 10 10
2 9 1 100 10
3 5 20 100 10
4 4 20 0 10

Sample Output

40
150
70
149
300
150

HINT

对于所有测试数据，保证 0 ≤ pv ≤ 106，0 ≤ qv ≤ 1012，1 ≤ fv < v；保证 0 < sv ≤ lv ≤ 2×1011，且任意城市到SZ市的总路程长度不超过 2×1011。
输入的 t 表示数据类型，0 ≤ t < 4，其中：
当 t=0 或 2 时，对输入的所有城市 v，都有 fv=v-1，即所有城市构成一个以SZ市为终点的链；
当 t=0 或 1 时，对输入的所有城市 v，都有 lv=2×1011，即没有移动的距离限制，每个城市都能到达它的所有祖先；
当 t=3 时，数据没有特殊性质。
n=2×10^5

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论点分治学得不熟、CDQ分治和斜率优化十分钟前刚学会的NOIP选手马上用这三个方法去做题是一种什么感觉……

(╯‵□′)╯︵┻━┻

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思路:
其实是一道思路很正常的题……
如果先不管距离限制，并且目标是一个序列，我们能得出一个简单粗暴的DP方程:
f[i]=max{f[j]+d[j][i]∗p[i]+q[i]}
显然这个方程是在用祖先去更新儿子对吧……

然后我们试图进行斜率优化:
f[j]+d[j][i]∗p[i]+q[i]≥f[k]+d[k][i]∗p[i]+q[i]
f[j]−f[k]d[i][j]−d[i][k]≤−p[i]

然后斜率优化居然就成功了……

那么考虑在树上，我们可以分治。
于是在点分治的基础上考虑用CDQ分治的更新方法维护斜率优化的凸包来降低复杂度。

因为刚才的DP是用祖先更新儿子，所以显然我们应该先把祖先搞定，再用祖先更新其儿子

具体分治方法是每次找出重心，先递归分治重心子树中含有原树根节点的那部分。
然后对其余子树内的节点全部按能走到的最小深度排序，也就是距根节点的距离减去其距离限制。

接着维护出重心到分治结构根节点这条链上的凸包，并一边维护一边用这个凸包更新子树内的DP值。
具体为对排序后的每个子树节点，以当前子树节点能否走到下一个链上的点为判断依据，来决定更新这个点时是否还能往凸包内加下一个链上的点，通过斜率来判断加一个点进凸包前是否需要弹点，然后在凸包上二分寻找最优值去更新这个子树节点。

最后直接递归分治其余子树，就可以了！

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<cstdlib>#include<algorithm>using namespace std;typedef long long ll;typedef double db;const int N=200009;const ll Inf=(1ll<<62);struct data{    int id;    ll val;}a[N];bool operator <(data satori,data koishi){    return satori.val>koishi.val;}int n,t,cnt,stk[N];int fa[N],siz[N],msiz[N];int to[N<<1],nxt[N<<1],beg[N],tot;ll p[N],q[N],limit[N],dis[N],f[N],w[N<<1];bool ban[N];inline ll read(){    ll x=0,f=1;char ch=getchar();    while(ch<'0' || '9'<ch){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}    while('0'<=ch && ch<='9'){x=x*10+(ch^48);ch=getchar();}    return x*f;}inline void add(int u,int v,ll ww){    to[++tot]=v;    nxt[tot]=beg[u];    w[tot]=ww;    beg[u]=tot;}inline db slope(int i,int j){    return (f[j]-f[i])/(dis[j]-dis[i]);}void dfs(int u){    siz[u]=1;    for(int i=beg[u],v;i;i=nxt[i])    {        dis[v=to[i]]=dis[u]+w[i];        dfs(v);        siz[u]+=siz[v];    }}void find(int u,int sum,int &root){    msiz[u]=0;    siz[u]=1;    for(int i=beg[u],v;i;i=nxt[i])    {        if(ban[v=to[i]])continue;        find(v,sum,root);        siz[u]+=siz[v];        msiz[u]=max(msiz[u],siz[v]);    }    msiz[u]=max(msiz[u],sum-siz[u]);    if(msiz[u]<msiz[root] && siz[u]>1)        root=u;}void dfs2(int u){    a[++cnt].id=u;    a[cnt].val=dis[u]-limit[u];    for(int i=beg[u];i;i=nxt[i])        if(!ban[to[i]])            dfs2(to[i]);}void solve(int x,int sum){    if(sum==1)        return;    int root=0;    find(x,sum,root);    for(int i=beg[root];i;i=nxt[i])        ban[to[i]]=1;    solve(x,sum-siz[root]+1);    cnt=0;    for(int i=beg[root];i;i=nxt[i])        dfs2(to[i]);    sort(a+1,a+cnt+1);    int now=root,top;    top=0;    for(int i=1;i<=cnt;i++)    {        while(now!=fa[x] && dis[a[i].id]-limit[a[i].id]<=dis[now])        {            while(top>=2 && slope(stk[top],now)>=slope(stk[top-1],stk[top]))                top--;            stk[++top]=now;            now=fa[now];        }        if(top)        {            int l=1,r=top,mid,ans=1;            while(l<=r)            {                mid=l+r>>1;                if(mid==top)                {                    ans=top;                    break;                }                if(slope(stk[mid],stk[mid+1])>=p[a[i].id])                    l=mid+1,ans=mid+1;                else                    r=mid-1;            }            f[a[i].id]=min(f[a[i].id],            f[stk[ans]]+(dis[a[i].id]-dis[stk[ans]])*p[a[i].id]+q[a[i].id]);        }    }    for(int i=beg[root];i;i=nxt[i])        solve(to[i],siz[to[i]]);}int main(){    n=read();    ll v=read();    for(int i=2;i<=n;i++)    {        fa[i]=read();v=read();        add(fa[i],i,v);        p[i]=read();q[i]=read();        limit[i]=read();    }    dfs(1);    msiz[0]=n+1;    for(int i=2;i<=n;i++)        f[i]=Inf;    solve(1,siz[1]);    for(int i=2;i<=n;i++)        printf("%lld\n",f[i]);    return 0;}