BZOJ3672：[Noi2014]购票 （斜率优化DP+二分+(树上CDQ分治/树链剖分)）

题目传送门：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3672

---

题目分析：这题和NOI2007货币兑换Cash差不多，只不过它斜率优化的式子要简单些，并把原先的序列变成了树，还加上了距离限制。
我们先考虑一种比较暴力的做法：能更新某个点答案的那些点一定在它父亲到它祖先某个点u的连续一段上，于是不妨用倍增找出这个u，然后做一次树剖。在DFS序的线段树上用一个数组存它对应区间的点所构成的凸包，查找时二分即可。这题不需要套平衡树，因为并没有要求强制在线。时间复杂度O(nlog3(n))，按道理来说应该过不了的，但因为树剖和二分的常数很小所以11000ms就过了。这里还有一个小优化：如果在线段树某个点代表的区间[L,R]里，L~R号点不来自同一条重链，就不用维护这些点构成的凸包，因为查询的时候肯定不会查到线段树的[L,R]这个节点。

---

CODE（树剖）：

#include<iostream>#include<string>#include<cstring>#include<cmath>#include<cstdio>#include<cstdlib>#include<stdio.h>#include<algorithm>using namespace std;const int maxn=200100;const int maxl=20;const long long oo=1e18;const double eps=1e-8;typedef long long LL;struct edge{    int obj;    LL len;    edge *Next;} e[maxn];edge *head[maxn];int cur=-1;int id[maxn<<2];int Le[maxn<<2];int Ri[maxn<<2];int que[maxn*maxl];int tail=0;int fa[maxn][maxl];int dep[maxn];LL dis[maxn];int Size[maxn];int Son[maxn];int Top[maxn];int bot[maxn];int dfsx[maxn];int Time=0;LL p[maxn];LL q[maxn];LL l[maxn];LL f[maxn];int n,t;void Add(int x,int y,LL z){    cur++;    e[cur].obj=y;    e[cur].len=z;    e[cur].Next=head[x];    head[x]=e+cur;}void Dfs1(int node){    Size[node]=1;    for (edge *p=head[node]; p; p=p->Next)    {        int son=p->obj;        fa[son][0]=node;        dep[son]=dep[node]+1;        dis[son]=dis[node]+p->len;        Dfs1(son);        Size[node]+=Size[son];        if (Size[son]>Size[ Son[node] ]) Son[node]=son;    }}void Dfs2(int node){    dfsx[++Time]=node;    bot[node]=Time;    int son=Son[node];    if (son)    {        Top[son]=Top[node];        Dfs2(son);    }    for (edge *p=head[node]; p; p=p->Next)    {        son=p->obj;        if (son!=Son[node])        {            Top[son]=son;            Dfs2(son);        }    }}int Jump(int x,LL y){    for (int j=maxl-1; j>=0; j--)    {        int z=fa[x][j];        LL w=dis[x]-dis[z];        if (y>=w) x=z,y-=w;    }    return x;}LL Binary(int L,int R,LL x){    while (L+1<R)    {        int mid=(L+R)>>1;        int k=que[mid-1];        int j=que[mid];        if (f[j]-f[k]<x*(dis[j]-dis[k])) L=mid;        else R=mid;    }    int k=que[L],j=que[R];    return min(f[j]-dis[j]*x,f[k]-dis[k]*x);}LL Query(int root,int L,int R,int x,int y,LL k){    if ( y<L || R<x ) return oo;    if ( x<=L && R<=y ) return Binary(Le[root],Ri[root],k);    int mid=(L+R)>>1;    int Left=root<<1;    int Right=Left|1;    LL vl=Query(Left,L,mid,x,y,k);    LL vr=Query(Right,mid+1,R,x,y,k);    return min(vl,vr);}LL Work(int u,int v,LL x){    if (Top[u]==Top[v])    {        if (bot[u]>bot[v]) swap(u,v);        return Query(1,1,n,bot[u],bot[v],x);    }    if (dep[ Top[u] ]<dep[ Top[v] ]) swap(u,v);    int w=Top[u];    LL val=Query(1,1,n,bot[w],bot[u],x);    u=fa[w][0];    return min(val, Work(u,v,x) );}void Build(int root,int L,int R){    if (L==R)    {        int x=dfsx[L];        id[root]=Top[x];        Le[root]=++tail;        que[tail]=x;        Ri[root]=tail;        if (L==1) return;        int y=Jump(x,l[x]);        f[x]=Work(fa[x][0],y,p[x])+dis[x]*p[x]+q[x];        return;    }    int mid=(L+R)>>1;    int Left=root<<1;    int Right=Left|1;    Build(Left,L,mid);    Build(Right,mid+1,R);    if ( id[Left] && id[Left]==id[Right] ) id[root]=id[Left];    else return;    Le[root]=tail+1;    for (int i=L; i<=R; i++)    {        int x=dfsx[i];        que[++tail]=x;        while ( Le[root]+2<=tail )        {            int y=que[tail-1],z=que[tail-2];            double vl=(double)(f[x]-f[y])/(double)(dis[x]-dis[y]);            double vr=(double)(f[y]-f[z])/(double)(dis[y]-dis[z]);            if (vl-vr>eps) break;            que[--tail]=x;        }    }    Ri[root]=tail;}int main(){    freopen("3672.in","r",stdin);    freopen("3672.out","w",stdout);    scanf("%d%d",&n,&t);    for (int i=1; i<=n; i++) head[i]=NULL;    for (int i=2; i<=n; i++)    {        int f;        LL s;        scanf("%d%lld%lld%lld%lld",&f,&s,&p[i],&q[i],&l[i]);        Add(f,i,s);    }    fa[1][0]=1;    Dfs1(1);    Top[1]=1;    Dfs2(1);    for (int j=1; j<maxl; j++)        for (int i=1; i<=n; i++)            fa[i][j]=fa[ fa[i][j-1] ][j-1];    Build(1,1,n);    for (int i=2; i<=n; i++) printf("%lld\n",f[i]);    return 0;}

---

还有一种用树上CDQ分治的更加巧妙的O(nlog2(n))的做法。关于树上CDQ分治SemiWaker的这篇题解写得很简明，在此我引用其中的一段话：

树上CDQ分治：
这里的限制条件是：每个点仅受祖先影响，或者每个点仅受该点所在子树的影响。（两个条件全局仅成立一个）
先讨论每个点仅受祖先影响的情况。
考虑以某个点 x 为分界线，将树分为两半。（虽然有多个联通块）
将根 R 所在的块包括 x 分治处理。
处理 R 所在的块中的修改操作，对树的其余部分的影响。
注意，只有从 x 到 R 的路径上的点才会对树的其余部分有影响，因为只有这一些点在树的其余部分到根的路径上。
将树的其余部分分治处理。（每个联通块单独处理）
分治后的根为与 x 相连的点。（即分治的部分中深度最小的点）
如果是每个点仅受所在子树的影响的话，将分治的顺序调换即可。
考虑怎样选取分界点 x ，显然选择重心最优。
换句话说，树上的CDQ分治，就是以点分治的方式来进行CDQ分治。

那么在这题中，我们记dis[node]表示node到根的距离。每次选取重心root，先递归root父亲所在的连通块，算出连通块中每一个点的最优答案，然后再扫一遍其他连通块的所有点。假设node在其他连通块中，设x=dis[root]+l[node]−dis[node](x>=0)，那么root的祖先（包括它自己）中所有到root距离小于等于x的点就可以更新node。我们将root的祖先按到root的距离排序，将所有其它连通块的点按其x值排序，就是一个很普通的单调队列了。
（话说我的点分治还是写得很不熟啊，而且nlog2(n)的点分治跑得比nlog3(n)的树剖还慢是什么情况？）

---

CODE（点分治）：

#include<iostream>#include<string>#include<cstring>#include<cmath>#include<cstdio>#include<cstdlib>#include<stdio.h>#include<algorithm>using namespace std;const int maxn=200100;const double eps=1e-8;const long long oo=1e18;typedef long long LL;struct edge{    int obj;    LL len;    edge *Next;} e[maxn<<1];edge *head[maxn];int cur=-1;struct data{    LL val;    int Node,P;} kscla[maxn];int num;int fa[maxn];LL dis[maxn];bool vis[maxn];int Size[maxn];int max_son[maxn];LL f[maxn];LL r[maxn];LL q[maxn];LL l[maxn];int sak[maxn];int tail;int n,t;void Add(int x,int y,LL z){    cur++;    e[cur].obj=y;    e[cur].len=z;    e[cur].Next=head[x];    head[x]=e+cur;}void Dfs1(int node){    for (edge *p=head[node]; p; p=p->Next)    {        int son=p->obj;        if (son!=fa[node])        {            fa[son]=node;            dis[son]=dis[node]+p->len;            Dfs1(son);        }    }}void Dfs2(int node,int from){    sak[++tail]=node;    max_son[node]=0;    Size[node]=1;    for (edge *p=head[node]; p; p=p->Next)    {        int to=p->obj;        if ( to!=from && vis[to] )        {            Dfs2(to,node);            Size[node]+=Size[to];            if (Size[to]>Size[ max_son[node] ]) max_son[node]=to;        }    }}int Get(int node){    return max(Size[ max_son[node] ],tail-Size[node]);}void Dfs3(int node,LL x){    if (x+l[node]>=dis[node])    {        num++;        kscla[num].val=x+l[node]-dis[node];        kscla[num].Node=node;        kscla[num].P=1;    }    for (edge *p=head[node]; p; p=p->Next)    {        int son=p->obj;        if ( son!=fa[node] && vis[son] ) Dfs3(son,x);    }}bool Comp(data x,data y){    return ( x.val<y.val || ( x.val==y.val && x.P<y.P ) );}LL Binary(LL x){    int L=1,R=tail;    while (L+1<R)    {        int mid=(L+R)>>1;        int y=sak[mid],z=sak[mid+1];        if (f[y]-dis[y]*x<f[z]-dis[z]*x) R=mid;        else L=mid;    }    int y=sak[L],z=sak[R];    return min(f[y]-dis[y]*x,f[z]-dis[z]*x);}void Solve(int node){    tail=0;    Dfs2(node,0);    if (tail==1)    {        vis[node]=false;        return;    }    int root=node;    for (int i=2; i<=tail; i++)        if ( Get(sak[i])<Get(root) ) root=sak[i];    node=fa[root];    while (vis[node]) node=fa[node];    vis[root]=false;    if (vis[ fa[root] ]) Solve(fa[root]);    int temp=fa[root];    while ( temp!=node && dis[root]-dis[temp]<=l[root] )        f[root]=min(f[root],f[temp]+(dis[root]-dis[temp])*r[root]+q[root]),        temp=fa[temp];    temp=root,num=0;    while (temp!=node)    {        num++;        kscla[num].val=dis[root]-dis[temp];        kscla[num].Node=temp;        kscla[num].P=0;        temp=fa[temp];    }    for (edge *p=head[root]; p; p=p->Next)    {        int son=p->obj;        if ( son!=fa[root] && vis[son] ) Dfs3(son,dis[root]);    }    sort(kscla+1,kscla+num+1,Comp);    tail=0;    for (int i=1; i<=num; i++)        if (kscla[i].P)        {            int x=kscla[i].Node;            LL v=Binary(r[x]);            f[x]=min(f[x],v+dis[x]*r[x]+q[x]);        }        else        {            int x=kscla[i].Node;            sak[++tail]=x;            while (tail>2)            {                int y=sak[tail-1],z=sak[tail-2];                double Left=(double)(f[y]-f[x])/(double)(dis[y]-dis[x]);                double Right=(double)(f[z]-f[y])/(double)(dis[z]-dis[y]);                if (Left-Right<-eps) break;                sak[--tail]=x;            }        }    for (edge *p=head[root]; p; p=p->Next)    {        int son=p->obj;        if ( son!=fa[root] && vis[son] ) Solve(son);    }}int main(){    freopen("ticket.in","r",stdin);    freopen("ticket.out","w",stdout);    scanf("%d%d",&n,&t);    for (int i=1; i<=n; i++) head[i]=NULL,vis[i]=true;    for (int i=2; i<=n; i++)    {        int F;        LL s;        scanf("%d%lld%lld%lld%lld",&F,&s,&r[i],&q[i],&l[i]);        Add(i,F,s);        Add(F,i,s);    }    Dfs1(1);    for (int i=2; i<=n; i++) f[i]=oo;    Solve(1);    for (int i=2; i<=n; i++) printf("%lld\n",f[i]);    return 0;}