第四届“图灵杯”NEUQ-ACM程序设计竞赛 A: 谷神的游戏【思维+组合数学】

问题 A: 谷神的赌博游戏

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题目描述

  NEUQ的谷神要和我一个游戏：谷神要求我随机在纸上写出整数集合{1,2,3，...,3n+1}（n是整数）的一个排列（即不重复的随机写出从1到3n+1的所有整数）。并且要求在我写的过程中，从我写的第一个数开始一直加到我正在写的数的总和不被3整除。如果我能写出来符合要求的一个排列，那么我就赢得游戏。那么问题来了，我赢得游戏的概率是多少？

输入

一组测试数据，第一行输入测试样例的数目k，接下来k行每行一个正整数n代表一个样例（1<=n<=15）。

输出

对于每个样例数据依次输出我赢得比赛的概率（结果保留小数点后9位有效数字）。

样例输入

11

样例输出

0.250000000

提示

例如n=1，则谷神要求我随机写1到4的排列，如果我按顺序写1 3 4 2则是合法的，因为1，1+3、1+3+4、1+3+4+2都不被3整除。如果我按顺序写1 2 3 4则是不合法的，因为当我写到2的时候1+2=3可以被3整除，不符合游戏规定。

思路：

一共有3*n+1个数，我们先将这些数分成三类，一类是%3==0的，一类是%3==1的，另外一类就是%3==2的。

我们不难想到，无论在什么位子放置%3==0的数，都不会影响当前前缀和的%3结果，所以我们最后考虑这个。

我们如果让%3==2的作为开头，我们很显然之后只能接%3==2的数，否则就会%3==0.

所以我们只能让%3==1的作为开头 ，然后接下来接一个%3==1的，再之后接%3==2的，在之后就可以依次类推了。

那么我们放置的方式就是：1121212121212......................................

接下来考虑%3==0放置的位子，其肯定不能作为开头，那么我们一共有3n+1个位子，第一个位子不能放置这类数，那么我们从3n个位子中挑出n个位子给%3==0的数放置，那么其有可能：C（3n，n）；那么1放置的方式有（n+1）！，2放置的方式有（n）！

根据累乘方程式得知最终结果就是：

A（3n，n）*（n+1）！*（n）！/（3n+1）！；

化简一下边乘边除就行了。

Ac代码：

#include<stdio.h>#include<string.h>using namespace std;#define ll long long intll c[55][55];int main(){    int t;    scanf("%d",&t);    while(t--)    {        ll n;        scanf("%lld",&n);        double ans=1;        for(int i=1;i<=n;i++)        {            ans*=(double)i;        }        ans/=(double)(3*n+1);        double tmp=2*n;        for(int i=1;i<=n+1;i++)        {            ans*=i;            ans/=tmp;            tmp--;        }        while(tmp>=1)        {            ans/=tmp;            tmp--;        }        printf("%.9lf\n",ans);    }}