Combination Sum IV

题目大意：

Given an integer array with all positive numbers and no duplicates, find the number of possible combinations that add up to a positive integer target.

Example:

nums = [1, 2, 3]target = 4The possible combination ways are:(1, 1, 1, 1)(1, 1, 2)(1, 2, 1)(1, 3)(2, 1, 1)(2, 2)(3, 1)Note that different sequences are counted as different combinations.Therefore the output is 7.

Follow up:
What if negative numbers are allowed in the given array?
How does it change the problem?
What limitation we need to add to the question to allow negative numbers?

题目意思：

给定一个无重复的正整数数组，计算得到一个目标正整数的所有可能组合方式的个数。

测试用例见题目描述。

注意不同的序列顺序应当视为不同的组合。

进一步思考：

如果数组中允许包含负数时应当怎样处理？

这会使问题作出怎样的变动？

如果允许负数需要对问题新增怎样的限制条件？

解题思路：

    开始是用DFS来做，出现超时情况。因为用递归+回溯的方法其实是用穷举的方式对所有的数字进行遍历，那就会出现超时的情况发生。最后使用动态规划来做，需要一个一维数组dp，其中dp[i]表示目标数为i的解的个数，然后从1遍历到target，对于每一个数i，遍历nums数组，如果i>=x, dp[i] += dp[i - x]。比如说对于[1,2,3] 4，这个例子，当在计算dp[3]的时候，3可以拆分为1+x，而x即为dp[2]，3也可以拆分为2+x，此时x为dp[1]，3同样可以拆为3+x，此时x为dp[0]，把所有的情况加起来就是组成3的所有情况了。

代码如下：

class Solution {
public:
    int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {
        vector<int> dp(target + 1);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 1; i <= target; ++i) {
            for (auto a : nums) {
                if (i >= a) dp[i] += dp[i - a];
            }
        }
        return dp.back();
    }
};

如果target远大于nums数组的个数的话，上面的算法可以做适当的优化，先给nums数组排个序，然后从1遍历到target，对于i小于数组中的数字x时，直接break掉，因为后面的数更大，其余地方不变，代码如下：

class Solution {
public:
    int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {
        vector<int> dp(target + 1);
        dp[0] = 1;
        sort(nums.begin(), nums.end());
        for (int i = 1; i <= target; ++i) {
            for (auto a : nums) {
                if (i < a) break;
                dp[i] += dp[i - a];
            }
        }
        return dp.back();
    }
};