图论算法之最短路径（有向无权图）

1.算法介绍

下图是一个无权图G。使用某个顶点s作为输入参数，我们想要找出从s到所有其他顶点的最短路径。

设我们选择s为v2.此时立刻可以说出从s到v2的最短路径长为0的路径。把这个信息做个标记。如下图。

现在我们可以开始找寻所有与s距离为1的顶点。这些顶点通过考查与s邻接的那些顶点可以找到。此时我们看到，v0和v5与s出发只有一步之遥。标记如下。

现在可以找出那些从s出发最短路径恰为2的顶点。找到所有邻接到v0和v5的顶点。它们的最短路径还不知道。这次搜索告诉我们，到v1和v3的最短路径长为2。标记如下。

最后，通过考查那些与刚被赋值的v1和v3相邻的顶点我们可以发现。v4和v6各有一条三边最短路径。标记如下。

这种搜索一个图的方法称为广度优先搜索。该方法按层处理顶点。距开始点最近的那些顶点首先被赋值。而最远的那些顶点最后被赋值。

2 算法实现

对于每个顶点。我们将跟踪三个信息。首先，我们把从s开始到顶点的距离放在dist中。开始的时候，除s外所有顶点都是不可达到的。另外我们记录引起顶点变化的最后一个节点path。最后如果顶点被处理过，将使用known标记。

算法的实现需要使用队列和链表。我把它们放在附录中。

核心算法是unWeighted函数initGraph和initArr负责初始化图G。

////  main.c//  Unweighted2////  Created by Wuyixin on 2017/6/11.//  Copyright © 2017年 Coding365. All rights reserved.//#include <stdio.h>#include "LinkList.h"#include "Queue.h"typedef LinkedList Graph,Vertex;Graph initGraph(int n ,int g[n][n]);void initArr(int n ,int g[n][n]);/* 为了初始化方便，使用二维数组初始化图。实际上这是不允许的，因为使用链表就是为了避免使用二维数组*/Graph initGraph(int n ,int a[n][n]){    Graph g;    Vertex v,w;        g = malloc(n * sizeof(struct Node));    if (g == NULL)        exit(EXIT_FAILURE);        /* 初始化顶点 */    for (int i = 0; i < n; i++)  {        g[i].data = i;        g[i].next= NULL;        g[i].dist = INT_MAX;        g[i].known = 0;        g[i].path = 0;    }    for (int i = 0; i < n; i++) {        /* 构建顶点 */        v = &g[i];        for (int j = 0; j < n; j++) {            /* 构建邻接顶点 */            if (a[i][j] != UNAVAILABLE){                w = malloc(sizeof(struct Node));                if (w == NULL)                    exit(EXIT_FAILURE);                w->data = j;                w->next = NULL;                v->next = w;                                v = w;                            }        }            }        return g;}/* 初始化二维数组 */void initArr(int n ,int g[n][n]){    for (int i = 0; i < n; i++)        for (int j = 0; j < n; j++)            g[i][j] = UNAVAILABLE;    }void unWeighted(Graph g,int s,int n){    if (g == NULL)        exit(EXIT_FAILURE);    Queue q;    Vertex v,w,z;    int i;       q = createQueue(n);    makeEmpty(q);    g[s].dist = 0;    g[s].known = 1;        enQueue(s, q);        while (!isEmpty(q)) {        i = deQueue(q);        v = &g[i];        for (w = v->next; w != NULL; w = w->next) {            z = &g[w->data];            if (z->known == 0){                z->dist = v->dist + 1;                z->path = v->data;                z->known = 1;                enQueue(w->data, q);            }        }            }        disposeQueue(q);/* free queue */}void printDist(Graph g,int n){    for (int i = 0 ; i < n; i++)        printf("v%d--dist:%d  ",i,g[i].dist);    printf("\n");}int main(int argc, const char * argv[]) {    int a[7][7];    initArr(7, a);    a[0][1] = 1;    a[0][3] = 1;    a[1][3] = 1;    a[1][4] = 1;    a[2][0] = 1;    a[2][5] = 1;    a[3][2] = 1;    a[3][4] = 1;    a[3][5] = 1;    a[3][6] = 1;    a[3][4] = 1;    a[4][6] = 1;    a[6][5] = 1;        Graph g;    g = initGraph(7, a);        unWeighted(g , 2, 7);    printDist(g, 7);    return 0;}

3.附录：队列与链表

3.1 队列

（1）头文件

////  Queue.h//  Unweighted////  Created by Wuyixin on 2017/6/6.//  Copyright © 2017年 Coding365. All rights reserved.//#ifndef Queue_h#define Queue_h#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <limits.h>typedef int ElemType;typedef struct QueueRecord *Queue;struct QueueRecord{    int capacity;    int front;    int rear;    int size;    ElemType *array;};/* 是否空 */int isEmpty(Queue q);/* 是否满 */int isFull(Queue q);/* 创建队列 */Queue createQueue(int maxElement);/* 销毁队列 */void disposeQueue(Queue q);/* 置空 */void makeEmpty(Queue q);/* 入队 */void enQueue(ElemType x, Queue q);/* 出队 */ElemType deQueue( Queue q);#endif /* Queue_h */

（2）实现文件

////  Queue.c//  Unweighted////  Created by Wuyixin on 2017/6/6.//  Copyright © 2017年 Coding365. All rights reserved.//#include "Queue.h"/* 是否空 */int isEmpty(Queue q){    return q->size == 0;}/* 是否满 */int isFull(Queue q){    return q->front % (q->capacity) == (q->rear + 2) % q->capacity;}/* 创建队列 */Queue createQueue(int maxElement){    if (maxElement <= 0)        exit(EXIT_FAILURE);    Queue q = malloc(sizeof(struct QueueRecord));    if (q == NULL)        exit(EXIT_FAILURE);        ElemType* array = malloc(maxElement * sizeof(ElemType));    if (array == NULL)        exit(EXIT_FAILURE);    q->array = array;    q->capacity = maxElement + 1;    makeEmpty(q);    return q;}/* 销毁队列 */void disposeQueue(Queue q){    if (q != NULL){        free(q->array);        free(q);    }}/* 置空 */void makeEmpty(Queue q){    q->size = 0;    q->front = 1;    q->rear = 0;}/* 入队 */void enQueue(ElemType x, Queue q){    if (!isFull(q)){        q->rear = (q->rear + 1) % q->capacity;        q->size += 1;        q->array[q->rear] = x;    }}/* 出队 */ElemType deQueue(Queue q){    if (!isEmpty(q)){        int tmp = q->front;        q->front = (q->front + 1) % q->capacity;        q->size -= 1;        return q->array[tmp];    }        return INT_MIN;}

3.2 链表

（1）头文件

////  LinkList.h//  Unweighted////  Created by Wuyixin on 2017/6/6.//  Copyright © 2017年 Coding365. All rights reserved.//#ifndef LinkList_h#define LinkList_h#include <stdio.h>#include <limits.h>#include <stdlib.h>extern int UNAVAILABLE;typedef struct Node *LinkedList,*PtoNode;typedef int ElemType;struct Node{    ElemType data;    struct Node* next;    int dist;    int known;    int path;};/* 链表初始化 */LinkedList initList();/* 插入元素 */ElemType insert(ElemType x,LinkedList list);/* 删除链表 */void deleteList(LinkedList list);/* 打印链表 */void printList(LinkedList list);#endif /* LinkList_h */

（2）实现文件

////  LinkList.c//  Unweighted////  Created by Wuyixin on 2017/6/6.//  Copyright © 2017年 Coding365. All rights reserved.//#include "LinkList.h"int UNAVAILABLE = INT_MIN;/* 链表初始化 */LinkedList initList(){    LinkedList h = malloc(sizeof(struct Node));    if (h == NULL)        exit(EXIT_FAILURE);    h->next = NULL;    h->data = UNAVAILABLE;    return h;}/* 插入元素 */ElemType insert(ElemType x,LinkedList list){    PtoNode current;    current = list;    while (current->next != NULL)        current = current->next;            /* 生成新节点 */    PtoNode n = (PtoNode)malloc(sizeof(struct Node));    if (n == NULL)        exit(EXIT_FAILURE);        n->data = x;    n->next = NULL;        current->next = n;            return x;}/* 删除链表 */void deleteList(LinkedList list){    if (list == NULL)        return;    PtoNode node,old;    node = list;    while (node->next != NULL){        old = node;        node = node->next;        free(old);    }}/* 打印链表 */void printList(LinkedList list){    PtoNode node;    node = list->next;    while (node!= NULL ) {        printf("%d ",node->data);        node = node->next;    }    printf("\n");}