图论算法之最短路径（Dijkstra算法）

1 算法介绍

如果图是有向赋权图，那么问题将比无权图困难。

Dijkstra算法向无权图最短路径算法一样。按阶段进行。在每一个阶段，Dijkstra算法选择一个顶点v。它在所有未知顶点中具有最小距离的dist，同时算法声明从s到v的最短路径是已知的。阶段的其余更新邻接点的信息。

表1表示初始配置。假设开始s是v0。第一个选择的顶点是v0.路径长0.该顶点标记为已知。既然v0已知，那么某些表项就需要调整。邻接到v0的顶点是v1到v3.这两个顶点的项得到调整。如表2。

下一步，选取v4并标记为已知。顶点v2，v4，v5，v6是邻接的顶点，而实际上都需要调整。如表3。

接着选择v1。v3是邻接的点，但已经是已知的，因此对它没有工作要做。v4是邻接点但不做调整，因为经过v1的值为2 + 10 = 12，而长为3的路径已经是已知的。如表4。

下一个被选取的顶点是v4，其值为3。v6是唯一的邻接顶点。但是它不用调整。因为 3 + 6 > 5。然后选取v2，对v5的距离下调到3 + 5 = 8。如表5。

再下一个选取的顶点是v6。v5下调到5 + 1 = 6。如表6。

最后，我们选择v5。如表7。

下图是最后的结果。

2 算法实现

dijkstra函数是核心算法，initGraph和initArr负责初始化图G。算法用到二叉堆以及链表，我把它们放在下面附录中。

////  LinkList.c//  Unweighted////  Created by Wuyixin on 2017/6/6.//  Copyright © 2017年 Coding365. All rights reserved.//#include "LinkList.h"int UNAVAILABLE = INT_MIN;/* 链表初始化 */LinkedList initList(){    LinkedList h = malloc(sizeof(struct Node));    if (h == NULL)        exit(EXIT_FAILURE);    h->next = NULL;    h->data = UNAVAILABLE;    return h;}/* 插入元素 */ElemType insert_l(ElemType x,LinkedList list){    PtoNode current;    current = list;    while (current->next != NULL)        current = current->next;            /* 生成新节点 */    PtoNode n = (PtoNode)malloc(sizeof(struct Node));    if (n == NULL)        exit(EXIT_FAILURE);        n->data = x;    n->next = NULL;        current->next = n;            return x;}/* 删除链表 */void deleteList(LinkedList list){    if (list == NULL)        return;    PtoNode node,old;    node = list;    while (node->next != NULL){        old = node;        node = node->next;        free(old);    }}/* 打印链表 */void printList(LinkedList list){    PtoNode node;    node = list->next;    while (node!= NULL ) {        printf("%d ",node->data);        node = node->next;    }    printf("\n");}

3 附录：二叉堆与链表

3.1 Node结构

////  Node.h//  Dijkstra2////  Created by Wuyixin on 2017/6/11.//  Copyright © 2017年 Coding365. All rights reserved.//#ifndef Node_h#define Node_h#include <stdio.h>typedef int ElemType;struct Node{    ElemType data;    struct Node* next;    int dist;    int known;    int path;    int cost;};#endif /* Node_h */

3.2 二叉堆

（1）头文件

////  BinHeap.h//  PriorityQueue////  Created by Wuyixin on 2017/5/29.//  Copyright © 2017年 Coding365. All rights reserved.//#ifndef BinHeap_h#define BinHeap_h#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <limits.h>#include "Node.h"#define PRIORITY_QUEUE_SIZE_MIN 50struct HeapStruct;typedef struct HeapStruct *PriorityQueue;/* 元素类型 */typedef struct Node * ElementType;/* 差值 */typedef int DIFFERENCE;extern const int DATA_MIN;//最小值，用来标记空节点/* 自定义非法值 */void defineInvalidValue(ElementType invalid);/* 初始化 */PriorityQueue init_queue(int max_elements);/* 构建堆操作，把n个关键字（任意顺序）作为输入并把它们放入到空堆中*/PriorityQueue build_heap(PriorityQueue h ,ElementType arr,unsigned int n,int (*compare)(void*,void*));/* 销毁堆 */void destroy(PriorityQueue h);/* 置空堆 */void make_empty(PriorityQueue h);/* 插入 */void insert_h(ElementType x,PriorityQueue h,int (*compare)(void*,void*));/* 删除最小 */ElementType delete_min(PriorityQueue h,int (*compare)(void*,void*));/* 删除元素 */ElementType delete_element(int p ,PriorityQueue h,DIFFERENCE infinity,ElementType (*change)(ElementType,DIFFERENCE),int (*compare)(void*,void*));/* 查找最小 */ElementType find_min(PriorityQueue h);/* 降低关键字的值 */ElementType decrease_key(int p,DIFFERENCE d,ElementType (*change)(ElementType,DIFFERENCE),PriorityQueue h,int (*compare)(void*,void*));/* 增加关键字的值 */ElementType increase_key(int p,DIFFERENCE d,ElementType (*change)(ElementType,DIFFERENCE),PriorityQueue h,int (*compare)(void*,void*));/* 是否空 */int is_empty(PriorityQueue h);/* 是否满 */int is_full(PriorityQueue h);/* 遍历堆 */void travel_queue(PriorityQueue h,void handle(ElementType));struct HeapStruct{    int capacity;    int size;    ElementType *elements;};#endif /* BinHeap_h */

（2）实现文件

////  BinHeap.c//  PriorityQueue////  Created by Wuyixin on 2017/5/29.//  Copyright © 2017年 Coding365. All rights reserved.//#include "BinHeap.h"const int DATA_MIN = INT_MIN;static ElementType binHeapInvalidValue;static int percolate_up(int p,ElementType value,PriorityQueue h,int (*compare)(void*,void*));static int percolate_down(int p,ElementType value,PriorityQueue h,int (*compare)(void*,void*));static void error(char* message){    printf("%s\n",message);}static void fatal_error(char* message){    error(message);    exit(EXIT_FAILURE);}/* 上滤 *//* 一个元素的值降低，或者在堆的末尾增加新值，都会用到此操作。此操作的特点是让节点“往上升” *//* return 返回上滤后的新位置*/static int percolate_up(int p,ElementType value,PriorityQueue h,int (*compare)(void*,void*)){    if (is_empty(h)) return DATA_MIN;    if (p < 1 || p > h->size) return DATA_MIN;        /* 由于h->elements[0]的值是DATA_MIN，所以可以作为循环终止的条件 */    int i;    for (i = p; h->elements[i/2] != NULL && compare(value,h->elements[i/2]) < 0; i /= 2) {        h->elements[i] = h->elements[i/2];    }        return i;}/* 下滤 *//* 一个元素的值增加，或者删除堆的最小元（根），都会用到此操作。此操作的特点是让节点“往下降” */static int percolate_down(int p,ElementType value,PriorityQueue h,int (*compare)(void*,void*)){    if (is_empty(h)) return DATA_MIN;    if (p < 1 || p > h->size) return DATA_MIN;        int i;    int child;        for (i = p; 2 * i <= h->size; i = child) {        child = 2 * i;                /* 比较左右孩子,取出小的元素上滤*/        /* 直到"空穴"来到最后一层（树叶）或者 “空穴”的两个孩子都比last_elem的值要大，找到这个位置*/        if (child != h->size && compare( h->elements[child + 1],h->elements[child]) < 0)            child++;                if (compare(value,h->elements[child]) > 0){            h->elements[i] = h->elements[child];        }                else            break;    }        return i;    }void defineInvalidValue(ElementType invalid){    binHeapInvalidValue = invalid;}PriorityQueue init_queue(int max_elements){    /* 给堆分配的长度太小 */    if (max_elements < PRIORITY_QUEUE_SIZE_MIN)        error("Priority queue size is too small");        PriorityQueue h = malloc(sizeof(struct HeapStruct));    if (h == NULL) fatal_error("Out of space!!!");        /* 数组第一个元素不存储节点，根从第二个元素开始，因为这样节点的父亲、左孩子、右孩子的表达式比较清楚。因此实际分配的大小要比max_elements大1 */    h->elements = malloc((max_elements + 1) * sizeof(ElementType));    if (h->elements == NULL) fatal_error("Out of space!!!");        h->size = 0;    h->capacity = max_elements;    h->elements[0] = binHeapInvalidValue;/* 做标记用 */        return h;}PriorityQueue build_heap(PriorityQueue h ,ElementType arr,unsigned int n,int (*compare)(void*,void*)){    if (h == NULL) return h;    if (n == 0) return h;    int i = 0;    /* 将数组中的元素的值复制到堆中（无序） */    ElementType* p = h->elements + 1;    while (i < n){        *p++ = (arr + i++),h->size++;    }            i = n / 2;    while(i > 0)        percolate_down(i, h->elements[i], h,compare),i--;        return h;}void destroy(PriorityQueue h){    free(h->elements);    free(h);}void make_empty(PriorityQueue h){    /* 其实就是把size变成零，虽然堆里的每个节点的值还在，但都是无效的。 */    h->size = 0;}void insert_h(ElementType x,PriorityQueue h,int (*compare)(void*,void*)){        int i;    if (is_full(h)) error("Priority queue is full");        /* 插入元素先放在堆的末尾，然后经过上滤的过程找到合适的位置并插入 */    /* 注意++h->size已经把size加1 */    i = percolate_up(++h->size, x, h,compare);    h->elements[i] = x;        }ElementType delete_min(PriorityQueue h,int (*compare)(void*,void*)){    if (is_empty(h)) return binHeapInvalidValue;        /* 注意h->size--已经把size减1 */    ElementType last_elem = h->elements[h->size--];    ElementType min_elem = h->elements[1];        /* 把最小元删除，经过下滤过程，把堆序重新调整*/    int i = percolate_down(1, last_elem, h,compare);    if (i != DATA_MIN)        h->elements[i] = last_elem;    return min_elem;}/* 删除位置p的节点。这通过首先执行decrease_key(p,∞,h),然后在执行delete_min(h)来完成*/ElementType delete_element(int p ,PriorityQueue h,DIFFERENCE infinity,ElementType (*change)(ElementType,DIFFERENCE),int (*compare)(void*,void*)){    if (is_empty(h)) return binHeapInvalidValue;    if (p < 1 || p > h->size) return h->elements[0];        ElementType elem = h->elements[p];        decrease_key(p, infinity,change, h,compare);    delete_min(h,compare);        return elem;}ElementType find_min(PriorityQueue h){    if (is_empty(h)) return h->elements[0];    return h->elements[1];}/* 该操作降低位置p处的关键值，降值的幅度为正的量d。由于这可能破坏堆的序，因此必须通过上滤对堆进行调整 */ElementType decrease_key(int p,DIFFERENCE d,ElementType (*change)(ElementType,DIFFERENCE),PriorityQueue h,int (*compare)(void*,void*)){    if (is_empty(h)) return binHeapInvalidValue;    if (p < 1 || p > h->size) return h->elements[0];    if (d <= 0) return h->elements[0];        ElementType value = change(h->elements[p],-d);    int i = percolate_up(p, value, h,compare);    h->elements[i] = value;    return value;}/* 该操作增加位置p处的关键值，增值的幅度为正的量d。由于这可能破坏堆的序，因此必须通过下滤对堆进行调整 */ElementType increase_key(int p,DIFFERENCE d,ElementType (*change)(ElementType,DIFFERENCE),PriorityQueue h,int (*compare)(void*,void*)){    if (is_empty(h)) return binHeapInvalidValue;    if (p < 1 || p > h->size) return h->elements[0];    if (d <= 0) return h->elements[0];        ElementType value = change(h->elements[p] , d) ;    int i = percolate_down(p, value, h,compare);    h->elements[i] = value;    return value;}int is_empty(PriorityQueue h){    return h->size == 0;}int is_full(PriorityQueue h){    return h->size >= h->capacity;}void travel_queue(PriorityQueue h,void handle(ElementType)){    if (!is_empty(h)){        int i = 0;        while (i++ < h->size)            handle(h->elements[i]);            }}

3.3 链表

（1）头文件

////  LinkList.h//  Unweighted////  Created by Wuyixin on 2017/6/6.//  Copyright © 2017年 Coding365. All rights reserved.//#ifndef LinkList_h#define LinkList_h#include <stdio.h>#include <limits.h>#include <stdlib.h>#include "Node.h"typedef struct Node *LinkedList,*PtoNode;extern int UNAVAILABLE;/* 链表初始化 */LinkedList initList();/* 插入元素 */ElemType insert_l(ElemType x,LinkedList list);/* 删除链表 */void deleteList(LinkedList list);/* 打印链表 */void printList(LinkedList list);#endif /* LinkList_h */

（2）实现文件

////  LinkList.c//  Unweighted////  Created by Wuyixin on 2017/6/6.//  Copyright © 2017年 Coding365. All rights reserved.//#include "LinkList.h"int UNAVAILABLE = INT_MIN;/* 链表初始化 */LinkedList initList(){    LinkedList h = malloc(sizeof(struct Node));    if (h == NULL)        exit(EXIT_FAILURE);    h->next = NULL;    h->data = UNAVAILABLE;    return h;}/* 插入元素 */ElemType insert_l(ElemType x,LinkedList list){    PtoNode current;    current = list;    while (current->next != NULL)        current = current->next;            /* 生成新节点 */    PtoNode n = (PtoNode)malloc(sizeof(struct Node));    if (n == NULL)        exit(EXIT_FAILURE);        n->data = x;    n->next = NULL;        current->next = n;            return x;}/* 删除链表 */void deleteList(LinkedList list){    if (list == NULL)        return;    PtoNode node,old;    node = list;    while (node->next != NULL){        old = node;        node = node->next;        free(old);    }}/* 打印链表 */void printList(LinkedList list){    PtoNode node;    node = list->next;    while (node!= NULL ) {        printf("%d ",node->data);        node = node->next;    }    printf("\n");}