Codechef July15 EASYEX

　　来自2016集训队作业。

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　　题意：有1..K共K个数，选n次，求1..L的出现次数的乘积的F次方的期望模2003，F≤1000,L∗F≤50000。

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　　令xi,j表示在第i轮里数j是否被选中，则所求为∏Li=1(∑nj=1xj,i)F的期望。
　　考虑这个式子完全展开后的形态，如果某个项里存在同一轮的两个不同数的变量，那么这个项的贡献显然是0。每个变量为1的概率是1/K，所以每一项的期望我们可以很容易的算出来。同时可以注意到，项和项之间都是独立的，由期望线性性，现在我们单独考虑某个项的系数，最后再把所有项的期望加到一起。
　　设fi,j表示只含前i个数的变量，这个单项式里有j个不同的变量。先不考虑每轮之间怎么选，注意每次加的变量的轮数和别的变量的轮数不能相同，所以我们可以直接在(∑nj=1xj,i)F这个式子里选k个变量出来，这相当于是将F个本质不同的数分成k个集合，也就是斯特林子集数S(F,k)，所以我们可以有转移fi,j=∑Fk=1fi−1,j−kS(F,k)。
　　因为我们每次只会加F个变量， 所以最后总共也只有L∗F项，所以这可以用倍增FFT优化。
　　最后答案还要算回选的变量的顺序，所以答案是
　　

∑k=LLFnk−KkfL,k

　　到这里的时间复杂度是T(L)=T(L/2)+O(LFlog(LF))=O(LFlog(LF)logL)。
　　然而仔细观察答案的式子里有nk−这一项，当k≥2003时必然有模2003为0。所以我们可以只用1...2003的项，这样直接暴力卷积就比FFT快了。