bzoj 3739: DZY loves math VIII （数学）

题目描述

传送门

题目大意：∑ni=1∑ij=1μ(lcm(i,j)gcd(i,j))

题解

∑ni=1∑ij=1μ(lcm(i,j)gcd(i,j)
∑ni=1∑ij=1μ(i)∗μ(j)[gcd(i,j)=1]
∑nd=1μ(d)∑d|iμ(i)∑d|jμ(j)
∑nd=1μ(d)∑d|iμ(i)∑⌊id⌋j=1μ(dj)

另f(d)表示到当前枚举到的d为止，∑⌊id⌋j=1μ(dj)的和。
这个东西可以动态的维护，每次加入一个数，如果这个数有贡献，那么他一定是几个质数一次方的乘积。那么我们可以dfs得到他所有的约数，然后用μ(i)更新f(d)，同时也可以顺便计算出∑d|iμ(i)∑⌊id⌋j=1μ(dj)

代码

#include<cstdio>#include<algorithm>#define N 10000000using namespace std;int T,pd[N+10],prime[N+10],mu[N+10],ans[1003],n,a[N],p[N+10];int cnt,st[103],f[N+10],sum[N+10];void init(){    mu[1]=1;    for (int i=2;i<=n;i++) {        if (!pd[i]) {            prime[++prime[0]]=i;            p[i]=i;            mu[i]=-1;        }        for (int j=1;j<=prime[0];j++){            if (i*prime[j]>n) break;            pd[i*prime[j]]=1; p[i*prime[j]]=prime[j];            if (i%prime[j]==0) break;            mu[i*prime[j]]=-mu[i];        }    }}int dfs(int num,int x,int v){    if (num==cnt+1) {        f[x]+=v;        return mu[x]*f[x];    }    return dfs(num+1,x*st[num],v)+dfs(num+1,x,v);}int main(){    freopen("a.in","r",stdin);    scanf("%d",&T);    for (int i=1;i<=T;i++) scanf("%d",&a[i]),n=max(n,a[i]);    init();    for (int i=1;i<=n;i++) {        sum[i]=sum[i-1];        if (!mu[i]) continue;        cnt=0; int x=i;        for (;x>1;x/=p[x])          st[++cnt]=p[x];        sum[i]+=mu[i]*dfs(1,1,mu[i]);    }    for (int i=1;i<=T;i++) printf("%d\n",sum[a[i]]);}