【算法】最短路径-弗洛伊德（Floyd-Warshall）

简介

1962年Robert W.Floyd（罗伯特·弗洛伊德）在Communications of the ACM上发表了此算法。（1964年与Williams发表了著名的堆排序算法，并于1978年获得了图灵奖。）同年，Stephen Warshall（史蒂芬·沃舍尔）也独立发表了该算法。

基本思想

从Vi到Vj的所有存在的路径中，选出一条长度最短的路径。
（逐渐探测：每增加一个中间顶点，比之前路径长度短的就取代，否则就甩掉）

可能存在的路径的情况如下：
1. 若< Vi,Vj >存在，则存在路径{Vi,Vj};//路径中不含其它顶点
2. 若< Vi,V0 >，< V0,Vj >存在，则存在路径{Vi,V0,Vj};//路径中所含顶点的序号不大于0；
3. 若{Vi,…,V1},{V1,…,Vj}存在，则存在一条路径{Vi,…,V1,…,Vj};//路径中所含顶点的序号不大于1；
…..0…(所有可选的顶点全部加完)
以此类推，则Vi至Vj的最短路径应是上述这些路径中，路径长度最小者。

代码（C语言）

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#define huge 99999999int main(){    int i,j,k,x,y,value,dot,side,a[10][10];    //输入有几个点，几条边    scanf("%d %d",&dot,&side);    //图的初始化    for(i=1;i<=dot;i++){        for(j=1;j<=dot;j++){            if(i == j)                a[i][j]=0;            else                a[i][j]=huge;        }    }    //输入边    for(i=1;i<=side;i++){        scanf("%d %d %d",&x,&y,&value);        a[x][y] = value;    }    //Floyd-Warshall算法    for(k=1;k<=dot;k++){ //依次从1号顶点经行中转        for(i=1;i<=dot;i++){            for(j=1;j<=dot;j++){                if(a[i][j] > a[i][k]+a[k][j])                    a[i][j]=a[i][k]+a[k][j];            }        }    }    //输出最终结果    for(i=1;i<=dot;i++){        for(j=1;j<=dot;j++){            printf("%10d",a[i][j]);        }        printf("\n");    }    return 0;}

时间复杂度：时间复杂度是O（N^3)；
只有五行代码，实现起来非常容易，如果对时间复杂度要求不高，可以使用
注：Floyd-warshall算法不能解决带有“负权回路”的图，因为带有“负权回路”的图没有最短路径。