最短路径之弗洛伊德算法（Floyd）

Floyd算法又称为插点法，是一种用于寻找给定的加权图中多源点之间最短路径的算法。

路径矩阵

通过一个图的权值矩阵求出它的每两点间的最短路径矩阵。

从图的带权邻接矩阵A=[a(i,j)] n×n开始，递归的进行n次更新，即由矩阵D(0)=A，按一个公式，构造出矩阵D(1)；
又用同样地公式由D(1)构造出D(2)；……；最后又用同样的公式由D(n-1)构造出矩阵D(n)。矩阵D(n)
的 i 行 j 列元素便是 i 号顶点到 j 号顶点的最短路径长度，称D(n)为图的距离矩阵，同时还可引入一个后继节点
矩阵path来记录两点间的最短路径。采用松弛技术（松弛操作），对在i和j之间的所有其他点进行一次松弛。所以时间复杂度为O(n^3);

状态转移方程：

    此算法属于DP（动态规划）

其状态转移方程如下map[i , j] =min{ map[i , k] + map[k , j] , map[i , j] }；

map[i , j]表示 i 到 j 的最短距离，K是穷举 i  ,  j 的断点，map[n , n]初值应该为0，或者按照题目意思来做。

当然，如果这条路没有通的话，还必须特殊处理，比如没有map[i , k]这条路。

算法流程

    1，从任意一条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权，如果两点之间没有边相连，则权为无穷大。

    2，对于每一对顶点 u 和 v，看看是否存在一个顶点 w 使得从 u 到 w 再到 v 比已知的路径更短。如果是更新它。

把图用邻接矩阵G表示出来，如果从Vi到Vj有路可达，则G[i,j]=d，d表示该路的长度；否则G[i,j]=无穷大。定义一个矩阵D用来记录
所插入点的信息，D[i,j]表示从Vi到Vj需要经过的点，初始化D[i,j]=j。把各个顶点插入图中，比较插点后的距离与原来的距离，
G[i,j] = min( G[i,j], G[i,k]+G[k,j] )，如果G[i,j]的值变小，则D[i,j]=k。在G中包含有两点之间最短道路的信息，而在D中则包含了最短通路径的信息。

比如，要寻找从V5到V1的路径。根据D，假如D(5,1)=3则说明从V5到V1经过V3，路径为{V5,V3,V1}，如果D(5,3)=3，说明V5与V3直接相连，
如果D(3,1)=1，说明V3与V1直接相连。

优缺点

       Floyd算法适用于APSP(All Pairs Shortest Paths，多源最短路径)，是一种动态规划算法，稠密图效果最佳，边权可正可负。
此算法简单有效，由于三重循环结构紧凑，对于稠密图，效率要高于执行|V|次迪杰斯特拉算法，也要高于执行V次SPFA(队列优化的单源最短路)。

优点：容易理解，可以算出任意两个节点之间的最短距离，代码编写简单。

缺点：时间复杂度比较高，不适合计算大量数据。

代码段如下：

//弗洛伊德算法Floyd代码段//杨鑫#define MAXVEX 65535typedef int Pathmatirx[MAXVEX][MAXVEX];typedef int ShortPathTable[MAXVEX][MAXVEX];/* *Floyd算法，求网图G中各顶点V到各其余顶点w最短路径P[v][w]，及带权长度D[V][W]. *该算法的主要功能是求一个图中任意两点之间的最短距离。 * */void ShortestPath_Floyd(MGraph G, Pathmatrix *P, ShortPathTable *D){int v, w, k;//初始化for(v = 0; v < G.numVertexes; ++v){for(w = 0; w < G.numVertexes; ++w){(*D)[v][w] = G.matrix[v][w];(*p)[v][w] = w;}}//如果经过下标为k顶点路径比原来两点间路径更短//将当前两点间权值设置为更小的一个for(k = 0; k < G.numVertexes; ++k){for(v = 0; v < G.numVertexes; ++v){for(w = 0; w < G.numVertexes; ++w){if((*D)[v][w] > (*D)[v][k] + (*D)[k][w]){(*D)[v][w] = (*D)[v][k] + (*D)[k][w];//路径直射经过下标为k的顶点(*P)[v][w] = (*P)[v][k];}}}}}