01背包

1267: Cafeteria [DP]

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题目描述

Nanae把饥肠辘辘的josnch带去一家自助餐厅，面对面前眼花缭乱的美味josnch呆住了。

假设有N种食物，每种食物只有一样，而且每种食物有对应的体积Wi (1 <= Wi <= 400),食用每一种食物都能增加对应的愉悦值Di(1 <= Di <= 100).

现在已知josnch肚子的容量为M(1 <= M <= 12,880),现在假设josnch足够聪明，请问他如何选择能在可接受的范围内达到愉悦值最大。

输入

第一行输入两个整数,N和M。

第二行到第N+1行输入每行两个整数，Wi 和 Di ，分别代表 第i件物品的体积和所能带来的愉悦值。

输出

输出一个整数，也就是在最佳选择下的愉悦值。

样例输入

4 61 42 63 122 7

样例输出

23

来源：http://acm.hpu.edu.cn/problem.php?id=1267

代码：

#include<stdio.h>#include<string.h>#include<algorithm>
using namespace std;
int dp[1005][1005];int main(){    int i,j,m,n;    int w[1005],d[1005];    while(scanf("%d%d",&n,&m) != EOF){           memset(dp,0,sizeof(dp));            for(i = 1; i <= n; i++)             scanf("%d%d",&w[i],&d[i]);         for(i = 1; i <= n; i++){             for(j = 0; j <= m; j++){                 if(j < w[i])                     dp[i][j] = dp[i-1][j];                 else                     dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+d[i]);             }          }         printf("%d\n",dp[n][m]);   }}

这种01背包的核心代码：

        for(i = 1; i <= n; i++){            for(j = 0; j <= m; j++){                 if(j < w[i])                     dp[i][j] = dp[i-1][j];                 else                     dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+d[i]);             }          }

该方法是利用动态规划解决此问题的效率即是填写此张表的效率，所以动态规划的时间效率为O(n*d)，由于用到二维数组存储子问题的解，所以动态规划的空间效率为O(n*d)；

由于时间已经不能再进行优化了，所以我们可以对空间进行优化。因为每一次V(i)(j)改变的值只与V(i-1)(x) {x:1...j}有关，V(i-1)(x)是前一次i循环保存下来的值；因此，可以将V缩减成一维数组，从而达到优化空间的目的，状态转移方程转换为 dp(j)= max{dp(j), dp(j-w(i))+d(i)}；并且，状态转移方程，每一次推导V(i)(j)是通过V(i-1)(j-w(i))来推导的，所以一维数组中j的扫描顺序应该从大到小(m到0)，否者前一次循环保存下来的值将会被修改，从而造成错误。

所以01背包的伪代码就可以这样写：

        for(i = 0; i < n; i++)            for(j = m; j >= w[i]; j--)                dp[j] = max(dp[j], dp[j-w[i]]+d[i]);