RMQ问题 在线算法-ST算法

RMQ（Range Minimum/Maximum Query），即区间最值查询，是指这样一个问题：对于长度为n的数列A，回答若干询问RMQ（A,i,j）(i,j<=n)，返回数列A中下标在i，j之间的最小/大值

最容易想到的解决方案是遍历，复杂度是O(n)
有一种比较高效的在线算法（ST算法）解决RMQ。在线算法，是指用户每输入一个查询便马上处理一个查询，回复结果。
该算法一般用较长的时间做预处理，待处理完全部已有信息以后，便可以用较少的时间回答每个查询-O(1)。
ST（Sparse Table）算法是一个非常有名的在线处理RMQ问题的算法，它可以在O(nlogn)时间内进行预处理，然后在O(1)时间内回答每个查询。

初始化,F[i][j]是下标从1开始的。

    static  int[][] F ;    static void RMQ_init(int[] v) {        F = new int[v.length + 1][v.length + 1];        //DP初始状态        for (int i = 1; i < F.length; i++) {            F[i][0] = v[i - 1];        }        for (int j = 1; Math.pow(2, j) <= v.length; j++) {            for (int i = 1; i <= v.length; i++) {                if (i + (1 << j)-1 <= v.length) {    //防止溢出                    F[i][j] = Math.max(F[i][j - 1], F[i +( 1 << (j - 1))][j - 1]);                }            }        }    }

查询

      static int find(int i, int j){        //查询的区间长度        int L=j-i+1;        //最小的K，使2的K次方的长度，可以覆盖一半以上的区间长度        int k= (int) Math.floorMod(j-i+1,2);        return Math.max(F[i+1][k],F[(int) (L-Math.pow(2,k)+1)][k]);     // 注意是  i+1    }

测试完整代码

public class LCS_RMQ {        static  int[][] F ;        static void RMQ_init(int[] v) {             F = new int[v.length + 1][v.length + 1];            for (int i = 1; i < F.length; i++) {                F[i][0] = v[i - 1];            }            for (int j = 1; Math.pow(2, j) <= v.length; j++) {                for (int i = 1; i <= v.length; i++) {                    if (i + (1 << j)-1 <= v.length) {                        F[i][j] = Math.max(F[i][j - 1], F[i +( 1 << (j - 1))][j - 1]);                    }                }            }        }  static   int find(int i, int j){        int L=j-i+1;        int k= (int) Math.floorMod(j-i+1,2);        return Math.max(F[i+1][k],F[(int) (L-Math.pow(2,k)+1)][k]);     // 注意是  i+1    }    public static void main(String[] args) {        int[] test = {5, 1, 2, 3, 8, 9};        RMQ_init(test);        System.out.println(find(0,3));;    }}输出 ：5

初始化复杂度为O(nLogn) 但是查询为O(1)