算法基础 - RMQ-ST算法(在线算法)

RMQ问题

RMQ（Range Minimum/Maximum Query），即区间最值查询，是指这样一个问题：对于一个长度N的数组，在多次询问中，每次都以O(1)的时间得到区间[a, b]的最大值或最小值。

在线算法

说来惭愧，到现在才刚开始清楚说的在线算法和离线算法是什么意思，所谓在线算法就是说，每次请求及时处理，处理完之后，直接返回，然后等待处理下一次请求。

所以一般在线算法有个预处理过程，预处理数据之后，能够更快速的处理每次请求的结果，但是会有一个相对长一点的预处理过程。

本文说的ST算法预处理的时间是(NlogN)。

离线算法

所谓离线算法只是在来了非常多的请求之后，一次性处理多个请求，能够不依赖于预处理数据，却能一次完成多个请求的结果。

ST ( Sparse Table ) 算法

ST（Sparse Table）算法是一个非常有名的在线处理RMQ问题的算法，它可以在O(nlogn)时间内进行预处理，然后在O(1)时间内回答每个查询。其思想就是保存以i为起点的某段数据的最小值。

预处理数据

预处理，用动态规划（DP）解决。思想接近于二路归并排序过程的分治思想。

1. 既然是DP思想，首先要记录每步的状态。

设A[i]是要求区间最值的数列，F[i, j]表示从第i个数起连续2^j个数中的最大值。 这里的F[i, j]就是每步的状态。

例如：

A数列为：3 2 4 5 6 8 1 2 9 7

F[1，0]表示第1个数起，长度为2^0=1的最大值，其实就是3这个数。
同理 : F[1,1] = max(3,2) = 3, F[1，2]=max(3,2,4,5) = 5，F[1，3] = max(3,2,4,5,6,8,1,2) = 8;

1. 状态转移方程
   既然有每步的状态了，开始找状态转移方程。

F[i, j] = max(F[i, j-1], F[i+2^(j-1)][j-1]);

怎么理解呢？

最初始状态：F[0, 0] = A[0]; F[1,0] = A[1]; F[2,0] = A[2]; 意思是说每单个元素的最大值都是自己（因为只有一个元素）

下一个状态：F[0, 1] = max(F[0,0], F[1,0]) = max(A[0], A[1]);意思是说把F[0, 1] 分成两段，例如要求得F[3, 2] = max(A[3] , A[4], A[5], A[6]) 其实就是求四个元素的前两个以及后两个的最大值。在求F[3,2]的时候已经知道了F[3, 1]和F[5,1]了。

代码如下：

void RMQ(int num){    for (int j = 1; j < 31; j++) {        for (int i = 0 ; i <= num; i++) {            if (i + (1<<j) -1 <= num) {                maxNum[i][j] = max(maxNum[i][j-1], maxNum[i+(1<<(j-1))][j-1]);                minNum[i][j] = min(minNum[i][j-1], minNum[i+(1<<(j-1))][j-1]);            }        }    }}

查询区间

那么查询怎么做呢？毕竟我们存放的都是2次幂个数的最小值。假如查询的区间是奇数个，或不是2次幂个数怎么弄？

其实很简单，就是把头尾分开！

假如我们需要查询的区间为(i,j)，那么我们需要找到小于这个闭区间(左边界取i，右边界取j)的最大幂（可以重复，比如查询5，6，7，8，9，我们可以查询5678和6789)

1. 区间的长度为j - i + 1
2. 可以取k=log2( j - i + 1) 区间是1->3 就取 log2( 3 - 1 + 1) = 1小于等于区间的最大幂
3. RMQ(A, i, j)=max{F[i , k], F[ j - 2 ^ k + 1, k]}

F[i, k] 是右边界起点向左找，F[ j - 2 ^ k + 1, k]是左边界作为终点，向右找起点。 一定要用小于等于区间的最大幂是因为要能够两个F加在一起能够覆盖整个区间。

完成代码如下

////  main.cpp//  RMQ_ST////  Created by Alps on 16/5/17.//  Copyright © 2016年 chen. All rights reserved.//#include <iostream>#include <cstring>#include <string>#include <vector>#include <cmath>#include <algorithm>#ifndef MAXARR#define MAXARR 100 //默认数组最多元素#endifusing namespace std;int maxNum[MAXARR][32];int minNum[MAXARR][32];void RMQ(int num){    for (int j = 1; j < 31; j++) {        for (int i = 0 ; i < num; i++) {            if (i + (1<<j) -1 < num) {                maxNum[i][j] = max(maxNum[i][j-1], maxNum[i+(1<<(j-1))][j-1]);                minNum[i][j] = min(minNum[i][j-1], minNum[i+(1<<(j-1))][j-1]);            }        }    }}int main(int argc, const char * argv[]) {    int M,N;    scanf("%d",&M);    for (int i = 0; i < M; i++) {        scanf("%d",&maxNum[i][0]);        minNum[i][0] = maxNum[i][0]; //初始化状态    }    RMQ(M);    scanf("%d",&N); //查询次数    int start = 0, end = 0;    for (int i = 0; i < N; i++) {        scanf("%d%d",&start,&end); //查询的区间        int k  = log2(end-start+1);        cout<<max(maxNum[start][k], maxNum[end-(int)(1<<k)+1][k])<<endl; //最大值        cout<<min(minNum[start][k], minNum[end-(int)(1<<k)+1][k])<<endl; //最小值    }    return 0;}