CodeChef AUG14 SIGFIB

　　来自2016集训队作业。
　　CC毒瘤题真是多。。。

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　　求∑i+j+k=nijkfifjfkmodm，其中fi是斐波那契数列。n≤1018,m≤105。

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　　答案的生成函数是(zDz1−z−z2)3，展开后可知答案是[zn](z+1/z)3F(z)6，其中F(z)=z1−z−z2，是fi的生成函数。
　　我们考虑怎么展开[zn]F(z)6得到其关于fn的表达式。
　　设ϕ,ϕ^分别为z2−z−1=0大于0和小于0的两个根。
　　我们知道F(z)=15√(11−ϕz−11−ϕ^z)，先来试试算个F(z)2。
　　

　　5F(z)2　　　　=(11−ϕz)2−2F(z)/z+(11−ϕ^z)2=∑n(n+11)(ϕn+ϕ^n)zn−2F(z)/z

　　注意到
　　

　　ϕn+ϕ^n　　　　　　=[zn](11−ϕz+11−ϕ^z)=[zn]2−(ϕ+ϕ^)z(1−ϕz)(1−ϕ^z)=[zn](2F(z)/z−F(z))=2fn+1−fn　　

　　因此[zn]F(z)2=(2nfn+1−(n+1)fn)/5。我们可以用类似的方法算出∑kkfkfn−k， 然后我们算F(z)6的时候可以先将其二项式展开然后合并成两部分的和，会得到一系列的各种形式的F(z)3，接着再用F(z)2和∑kkfkfn−k凑出来。。。
　　于是我们最后得到的大概会是[zn]F(z)6=∑6k=0Cn,kfn+k的形式，其中Cn,k里可能有关于(n+O(k)O(k))的组合数之类。因为下指标很小所以组合数可以暴力算，剩下的fn直接矩乘算。
　　要注意会有一个56的分母，我们把m乘上它之后再做，最后再除掉他就好。
　　（以上都是未经实践的口胡）
　　其实一开始大力MMA就可以得到系数了
　　用有理生成函数的一般展开定理也可以用来解这个系数，但是得到展开里的多项式也要一点技巧（虽然可以暴力），我打算以后用这个技巧出题干点奇怪的事所以就不写在这里了。