动态规划实例（三）：硬币找零方案

    问题：假设有m种面值不同的硬币，个个面值存于数组S ={S1，S2，… Sm}中，现在用这些硬币来找钱，各种硬币的使用个数不限。 求对于给定的钱数N，我们最多有几种不同的找钱方式。硬币的顺序并不重要。
    例如，对于N = 4，S = {1,2,3}，有四种方案：{1,1,1,1}，{1,1,2}，{2,2}，{1， 3}。所以输出应该是4。对于N = 10，S = {2,5, 3,6}，有五种解决办法：{2,2,2,2,2}，{2,2,3,3}，{2,2,6 }，{2,3,5}和{5,5}。所以输出应该是5。
    1）最优子结构
        要算总数的解决方案，我们可以把所有的一整套解决方案在两组 (其实这个方法在组合数学中经常用到，要么包含某个元素要么不包含，用于递推公式等等，)。
        1）解决方案不包含 第m种硬币（或Sm）。
        2）解决方案包含至少一个 第m种硬币。
    让数（S [] , M, N）是该函数来计算解的数目，则它可以表示为计数的总和（S [], M-1, N）和计数（S []，M，N-Sm）。
    因此，这个问题具有最优子结构性质的问题。
    2) 重叠子问题

    

具体实例及实现代码如下所示：

/** * @Title: CoinChange.java * @Package dynamicprogramming * @Description: TODO * @author peidong * @date 2017-6-7 上午8:57:21 * @version V1.0 */package dynamicprogramming;/** * @ClassName: CoinChange * @Description: 硬币找零 * @date 2017-6-7 上午8:57:21 * */public class CoinChange {    /**     *     * @Title: coinChangRecursion     * @Description: 递归解决方案     * @param s  硬币集合     * @param m  硬币种类     * @param n  钱数额     * @return     * @return int     * @throws     */    public static int coinChangRecursion(int[] s, int m, int n){        //边界条件判断        if(n == 0)            return 1;        if(n < 0)            return 0;        if(m <= 0)            return 0;        //递归        return coinChangRecursion(s, m - 1, n) + coinChangRecursion(s, m, n - s[m-1]);    }    /**     *     * @Title: coinChange     * @Description: 动态规划     * @param s  硬币数组     * @param m  硬币种类     * @param n  钱总数     * @return     * @return int     * @throws     */    public static int coinChange(int[] s, int m, int n){        int res1, res2;        //初始化状态转移数组        int[][] tc = new int[n+1][m];        //初始化状态转移数组        for(int i = 0; i < m; i++){            tc[0][i] = 1;        }        for(int i = 1; i < n+1; i++){            for(int j = 0; j < m; j++){                //包含s[j]时的种类                res1 =  (i-s[j] >= 0)? tc[i - s[j]][j]: 0;                //不包含s[j]的方案                res2 = (j >= 1)?tc[i][j-1]:0;                tc[i][j] = res1 + res2;            }        }        return tc[n][m-1];    }    /**     * @Title: main     * @Description: TODO     * @param args     * @return void     * @throws     */    public static void main(String[] args) {        // TODO Auto-generated method stub        int[] arr = {1, 2, 3};        int m = arr.length;        int n = 4;        System.out.println("使用递归求解硬币找零方案数为：" + coinChangRecursion(arr, m, n) );        System.out.println("使用动态规划求解硬币找零方案数为：" + coinChange(arr, m, n));    }}