卡片游戏（逆序对）

题目描述

小D举办了元旦联欢活动，其中有一个卡片游戏。

游戏的规则是这样的：有n张卡片，每张卡片上正面写着一个小于等于100的正整数ai，反面都是一样的花色。这n张卡片正面朝下叠成一堆，玩这个游戏的人从中可以抽出连续的k（1≤k≤n）张卡片。如果对于这k张卡片上的数字的平均值a，满足l<=a<=r，那他就可以获得小礼物一件。

小W来玩这个游戏了，她事先通过某些途径知道了这n张卡片上写的数字，现在她想知道她获得小礼物的期望值。

小W对小数很头疼，所以请你用分数的形式告诉她答案。

输入

输入文件名为game.in

输入第1行，三个整数n，l，r。

第2行，包含n个整数ai。

输出

输出文件名为game.out

输出仅1行，表示小W获得小礼物的期望值。输出格式为“P/Q”（P和Q互质）。如果期望值是0或1就不用输出分数了

样例输入

game.in  

4 2 3 

3 1 2 4 

game.out

7/10

样例输出

【输入输出样例2】

game.in  

4 1 4 

3 1 2 4  

game.out

1

提示

【输入输出样例解释1】

 

【输入输出样例解释1】抽出的卡片

a（保留2位小数）

是否满足l<=a<=r

 

3

3.00

√

 

1

1.00

2

2.00

√

 

4

4.00

3,1

2.00

√

 

1,2

1.50

2,4

3.00

√

 

3,1,2

2.00

√

 

1,2,4

2.33

√

 

3,1,2,4

2.50

√

 

 【输入输出样例解释2】

由上表得，小W总是可以获得小礼物。因此期望值是1

 

【数据范围】

对于30%的数据，0<n≤10,000；

对于70%的数据，0<n≤100,000；

对于100%的数据，0<n≤500,000，0<l<r≤100。

由表可得，一共有10种情况，其中有7种情况小W可以获得小礼物。因此小W获得小礼物的期望值是7/10。

solution：首先，容易想到用前缀和s[i]表示，j+1到i的平均数就是(s[i]-s[j])/(i-j)    (0<=j<i<=n),由题意得,要求l<=(s[i]-s[j])/(i-j)<=r的次数，要同时满足两个约束，这个不好处理，我们可以先考虑l<=(s[i]-s[j])/(i-j)的次数，再减去(s[i]-s[j])/(i-j)<r的次数，注意，是<r不是<=r+1，这里不一样的，

先来看左边,l<=(s[i]-s[j])/(i-j)  <=>  l*(i-j)<=s[i]-s[j]  <=>  s[j]-l*j<=s[i]-l*i  这样子就比较明显了——逆序对，准确地说是顺序对，用归并排序，时间复杂度θ（n lg n）

同理，在做一个s[i]-r*i的顺序对，这个要把等于的去掉。 

最好把第一个个数减去第二个个数，就是满足的次数。总次数是n*(n+1)/2,约分一下就解决了。

细节见代码：

#include<iostream>  #include<cstdio>  #include<cmath>  #include<algorithm>  #include<cstdlib>  #include<cstring>  using namespace std;  int k1,k2;  long long n,ans1,ans2,ans,fm,yf,a[1000000],s[1000000],b[1000000],c[1000000],q[1000000],ll,rr;  void ms(int l,int r){      if(l==r)          return;      int mid=(l+r)>>1;      ms(l,mid);      ms(mid+1,r);      k1=l;      k2=mid+1;      while(k1<=mid&&k2<=r){          if(b[k1]<=b[k2]){              ans1+=(long long)(r-k2+1);              q[k1-l+k2-mid]=b[k1];              k1++;          }          else{              q[k1-l+k2-mid]=b[k2];              k2++;          }      }      while(k1<=mid){          q[k1-l+k2-mid]=b[k1];          k1++;      }      while(k2<=r){          q[k1-l+k2-mid]=b[k2];          k2++;      }      for(int i=l;i<=r;i++)          b[i]=q[i-l+1];  }  void ms1(int l,int r){      if(l==r)          return;      int mid=(l+r)>>1;      ms1(l,mid);      ms1(mid+1,r);      k1=l;      k2=mid+1;      while(k1<=mid&&k2<=r){          if(c[k1]<c[k2]){              ans2+=(long long)(r-k2+1);              q[k1-l+k2-mid]=c[k1];              k1++;          }          else{              q[k1-l+k2-mid]=c[k2];              k2++;          }      }      while(k1<=mid){          q[k1-l+k2-mid]=c[k1];          k1++;      }      while(k2<=r){          q[k1-l+k2-mid]=c[k2];          k2++;      }      for(int i=l;i<=r;i++)          c[i]=q[i-l+1];  }  long long gcd(long long x,long long y){      if(x==0)          return y;      return gcd(y%x,x);  }  int main(){      scanf("%d%lld%lld",&n,&ll,&rr);      for(int i=1;i<=n;i++){          scanf("%lld",&a[i]);          s[i]=s[i-1]+a[i];          b[i]=s[i]-ll*i;          c[i]=s[i]-rr*i;      }      ms(0,n);      ms1(0,n);      ans=ans1-ans2;      fm=n*(n+1)/2;      yf=gcd(ans,fm);      ans/=yf;      fm/=yf;      if(ans==0)          printf("0\n");      else    if(ans==fm)          printf("1\n");      else        printf("%lld/%lld\n",ans,fm);      return 0;  }