CRC校验

1.基本概念
CRC即循环冗余校验码（Cyclic Redundancy Check[1] ）：是数据通信领域中最常用的一种查错校验码，其特征是信息字段和校验字段的长度可以任意选定。循环冗余检查（CRC）是一种数据传输检错功能，对数据进行多项式计算，并将得到的结果附在帧的后面，接收设备也执行类似的算法，以保证数据传输的正确性和完整性。
循环冗余校验码（CRC）的基本原理是：在K位信息码后再拼接R位的校验码，整个编码长度为N位，因此，这种编码也叫（N，K）码。对于一个给定的（N，K）码，可以证明存在一个最高次幂为N-K=R的多项式G(x)。根据G(x)可以生成K位信息的校验码，而G(x)叫做这个CRC码的生成多项式。 校验码的具体生成过程为：假设要发送的信息用多项式C(X)表示，将C(x)左移R位（可表示成C(x)*2R），这样C(x)的右边就会空出R位，这就是校验码的位置。用 C(x)*2R 除以生成多项式G(x)得到的余数就是校验码。
2.如何校验
对应关系
多项式和二进制数有直接对应关系：X的最高幂次对应二进制数的最高位，以下各位对应多项式的各幂次，有此幂次项对应1，无此幂次项对应0。可以看出：X的最高幂次为R，转换成对应的二进制数有R+1位。
多项式包括生成多项式G(X)和信息多项式C(X)。
如生成多项式为G(X)=X4+X3+X+1， 可转换为二进制数码11011。
而发送信息位 101111，可转换为数据多项式为C(X)=X5+X3+X2+X+1。
生成多项式
是接受方和发送方的一个约定，也就是一个二进制数，在整个传输过程中，这个数始终保持不变。
在发送方，利用生成多项式对信息多项式做模2除生成校验码。在接收方利用生成多项式对收到的编码多项式做模2除检测和确定错误位置。
应满足以下条件：
A、生成多项式的最高位和最低位必须为1。
B、当被传送信息（CRC码）任何一位发生错误时，被生成多项式做除后应该使余数不为0。
C、不同位发生错误时，应该使余数不同。
D、对余数继续做除，应使余数循环。
校验码位数
CRC校验码位数 = 生成多项式位数 - 1。注意有些生成多项式的简记式中将生成多项式的最高位1省略了。
生成步骤
1、将X的最高次幂为R的生成多项式G(X)转换成对应的R+1位二进制数。
2、将信息码左移R位，相当于对应的信息多项式C(X)*2R。
3、用生成多项式（二进制数）对信息码做除，得到R位的余数(注意：这里的二进制做除法得到的余数其实是模2除法得到的余数，并不等于其对应十进制数做除法得到的余数。)。
4、将余数拼到信息码左移后空出的位置，得到完整的CRC码。
3.例子
【例】假设使用的生成多项式是G(X)=X3+X+1。4位的原始报文为1010，求编码后的报文。
解：
1、将生成多项式G(X)=X3+X+1转换成对应的二进制除数1011。
2、此题生成多项式有4位（R+1）(注意：4位的生成多项式计算所得的校验码为3位，R为校验码位数)，要把原始报文C(X)左移3（R）位变成1010 000
3、用生成多项式对应的二进制数对左移3位后的原始报文进行模2除（高位对齐），相当于按位异或：
1010000
1011
………………………………………
0001000
0001011
………………………………………
0000011
得到的余位011，所以最终编码为：1010 011