课后练习8.15：最大公共子图问题

课后练习8.15:

证明最大公共子图问题是NP-完全问题

根据题意，即提供两个图G₁和G₂和预算b，要求分别去掉一些顶点后两个图都得到结点数至少为b的子图，且两个子图完全相同。

首先，若存在最大公共子图，并已知其顶点，可以在多项式时间内检验是否正确，因此它是NP问题。下面证明其为NP-难问题。已知求一个图的具有b个顶点的独立集的问题是NP-完全问题，现在从这个问题归约到最大公共子图问题，若成功，则其为NP-难问题。

令两个图G₁=(V, E)，G₂=(V, ∅)，两图的顶点集相同，但是G₂的边集为空。

存在结点数为b的最大公共子图，即存在b个顶点的独立集：反证法，假设这b个结点不属于独立集，即其中存在两个结点之间有边，那么在G₁的子图中这两点也有边相连。但是G₂的任意两点都没有边相连，其子图中也不会有相连的顶点，矛盾。故存在b个结点产生的独立集。

存在b个顶点的独立集，即存在结点数为b的最大公共子图：G₁和G₂都取这b个点构成它们的子图，因为G₁有独立集，则这b个顶点间没有边相连；G₂中边集为空集；因此只要两个子图没有边而有相同的b个顶点，这两个子图就是相同的，也即存在结点数为b的公共子图。

综上可知，图的独立集问题可以归约到最大公共子图问题，所以最大公共子图问题是NP难问题，又因为是NP问题，即其也是NP-完全问题。