时间序列之AR(自回归模型)

一个序列经过预处理被识别为平稳非白噪声序列，那就说明该序列是一个蕴含着相关信息的平稳序列。在统计上我们通常是建立一个线性的模型来拟合该序列的发展，借此提取该序列中的有用信息，ARMA是目前最常用的平稳序列拟合模型。

AR模型

具有下列结构的模型称为p阶自回归模型：

当时，自回归模型又称中心AR(p)模型，非中心化AR(p)序列都可以通过下面的变换转化为中心化AR（p）序列。中心化变化实质就是非中心化序列整个平移了一个常数位移，这种整体移动对序列值之间的相关关系没有任何影响，所以在今后的分析AR模型的相关关系时，都可以简化成对它中心化模型进行分析。

AR模型平稳性差别

要拟合一个平稳序列的发展，用来拟合的模型显然也应该是平稳的。AR模型是常用的平稳序列的拟合模型之一，但并非所有的AR模型都是平衡的。
R提供了多种序列拟合模型，这里是最常用的两种。

arima.sim函数拟合

这是一个便捷的序列拟合函数，它可以拟合平衡AR序列，MA序列、平衡ARMA序列，以及ARIMA序列。
式中：
arima.sim(n,list(ar= ,ma= ,order=),sd=)

-n:拟合序列长度
-list:指定具体的模型常数，其中：
（1）拟合平稳AR（p）模型，要给出自回归系数。如果指定拟合的AR模型是非平稳模型，系统会报错。
（2）拟合MA（q）模型，要给出移动平均系数。
（3）拟合平稳ARMA(p,q)模型，除了需要给出自回归系数与移动平均系数。如果指定拟合的ARMA模型为非平稳模型，系统会报错。
（4）拟合ARIMA（p,d,q）模型，除了需要给出的自回归系数和移动平均系数，还需要添加order选项.order = c(p,d,q),p为自回归系数，d为差分系数，q为移动平均阶数。
-sd:指定序列的标准差，不特殊指定，系统默认：sd = 1.

filter函数可以拟合AR序列（无论是否平稳）和MA序列.filter函数的命令格式为：
filter(e,filter =,method =,circular =)

-e:随机波动序列的变量名
-filter:指定模型系数，其中
(1)AR(P)模型为filter = c(o1,o2,…,op);
(2)MA(q)模型为filter = c(1,-o1,-o2,…,-oq);
-method:指定拟合AR模型还是MA模型
(1)method= “recursive”为AR模型
(2)method= “convolution”为MA模型
-circular:拟合MA模型时专用的一个选项，circular = T，可以避免NA数据出现。

考察如下四个序列的序列值，并绘制时序图：

（一）第一个式子

x1 = arima.sim(n=100,list(ar=0.8))ts.plot(x1)

可以看出这个模型是平稳的
（三）第三个式子

x3 = arima.sim(n=100,list(ar=c(1,-0.5)))ts.plot(x3)

可以看出这个模型是平稳的
（二）第二个式子

e = rnorm(100)x2 = filter(e,filter = -1.1,method = "recursive")ts.plot(x2)

可以看出这个模型是非平稳的

（四）第四个式子

e = rnorm(100)x4 = filter(e,filter= c(1,0.5),method = "recursive")ts.plot(x4)

可以看出这个模型是平稳的

图示法是一种粗糙的直观判别方法，我们有了两种准确的平稳差别方法：特征根判别和平稳域判别。

特征根判别
实际上是要求AR(p)模型的p个特征根都在单位圆内，所以AR（p）模型平稳的充要条件是它的p个特征根都在单位圆内。
根据特征根和自回归系数多项式的根成倒数的性质，AR模型平稳的等价判别条件是该AR模型的自回归系数的多项式的根，都在单位圆外。

平稳域差别
对于一个AR（p）模型而言，如果没有平稳性的要求，实际也意味着对参数向量没有任何限制，它们可以取遍p维欧式空间的任意一点，但是如果加了平稳性限制，参数向量就只能取p维欧式空间的一个子集，使得特征根都在单位圆的系数集合，称为AR(p)模型的平稳域。
对于低阶AR模型用平稳域的方法判别更加简便。
（1）AR(1)平稳域是【-1，1】
（2）AR(2)平稳域是一个三角型区域

分别用特征根法判别三个模型：

特征根与平稳域判别法

自相关系数的性质

1.一是拖尾性。
2.指数衰减。
考查如下四个平稳的AR模型的自相关图

x1 = arima.sim(n=1000,list(ar=0.8))acf(x1)

x2 = arima.sim(n=1000,list(ar=-0.8))acf(x2)

x3 = arima.sim(n=1000,list(ar=c(1,-0.5)))acf(x3)

x4 = arima.sim(n=1000,list(ar=c(-1,-0.5)))acf(x4 )

从图中可以看出， 这四个平稳的AR模型，不论他们是AR1模型还是AR2模型，不论他们的特征根是实根还是复根，是正根还是负根，它们的自相关性都呈现出拖尾性与呈指数衰减到零值附近的性质。
但是由于特征根的不同，它们自相关系数的衰减方式不一样，有的自相关系数是按指数衰减到零（如模型1），有的是正负间的衰减（如模型2），还有些自回归系数会呈现出类似周期性的余弦衰减，即具有“伪周期”特征（如模型3），这些都是平稳模型自相关性常见的特征。

偏相关性系数

对于一个平稳AR（p）模型，求出滞后k自相关系数时，实际上并不是x(t)与x(t-k)之间单纯的相关关系，因为x(t)同时还会受到中间(k-1) 个随机变量的影响，而这（k-1）个随机变量又都和x(t-k)具有相关关系，所以自相关系数里实际上掺杂了其他变量对x(k)和x(t-k)的相关影响，为了单纯了测量x(t-k)对x(k)的影响，引进的偏自相关性系数的概率。
平稳的AR(p)模型的偏自相关系数具有p步截尾性。

pacf(x1)pacf(x2)pacf(x3)pacf(x4)

由于样本的随机性，样本偏自相关系数不会和理论偏自相关系数一样严格截尾，但是可以看出两个AR（1）模型的样本偏自相关系数1阶显著不为0，1阶之后都近似为0，而两个AR（2）模型的样本的偏自相关系数，2阶之后都近似
为零。样本的偏自相关图可以直观的验证AR模型偏自相关系数截尾性。