机器学习18-XGBoost的推导过程

一，对随机森林的重新思考

   随机森林的每个决策树由随机样本数，随机样本特征，通过信息熵的度量来确定，可以说各个决策树之间是相互独立的，每个树只是在某个分类方向上具有优势（弱分类器），将具有优势的这些树组成森林，即可生成随机森林，从而达到分类的目的。但是如果我想对随机森林进一步提升准确率，应该采取什么策略呢？有以下2个方向：

   1，决策树。

    假定当前得到m-1颗决策树，可以根据样本与决策信息影响第m颗决策树的生成。很显然的将分错的样本权值增大，将分对的样本权值减小能在训练样本上能得到较高的准率

   图m=1中，绿线左边3个红点，右边2个蓝点分错，将这5个点加权再分，以此类推分下去，可以得到很好的分类器。

   2，各个决策树组成随机森林后，最后的投票过程不采用少数服从多数规则，投票过程在建立决策树时就确立。

二，算法框架

   假定样本的噪声符合高斯分布，典型的损失函数就定义为预测值与实际值的误差平方，则目标函数的最优解就是所有样本损失最小的函数

此时F（x）是一簇基函数f（x）的加权和

则算法转化为求一簇基函数的最小损失值，根据策略1，我们应该根据前m-1个决策树来决定生成怎样的第m颗决策树，不妨第一颗决策树就是一个常数函数f1（x）= c

接下来的工作便是怎么确定权值，怎么根据m-1颗树确定第m颗树

三，目标函数

：第i个样本根据前t-1颗树确定的测试值

：第i个样本根据第 t 颗树确定的值

：第 t 颗树的正则项

根据Taylor展开式，在x处2阶展开，忽略高阶无穷小。

令

将目标函数Taylor展开

值得注意的是，L是给定的，y的真实值是知道的，预测值是根据前t-1颗树知道的，则gi和hi是可算的。

四，重新定义决策树

一个xi的样本进入决策树分类是由最终的的叶子权值决定，即黑色实心圆，而中间的空心圆只是决定的 xi 样本落入到哪一个叶子。

q（x）表示样本x落入的叶子

Wq（x）表示样本x落入叶子的权值，即样本X经过决策树所对应的权值

所以一颗决策树的核心是：“树结构”与“叶权值”

举例

五，正则项的定义

决策树的复杂度可参考叶节点数和叶权值

举例

六，目标函数的计算

定义

得

对W求偏导

代入目标函数

举例

XGBoost公式做的事情