Link-Cut Tree

Link-Cut Tree动态树

好难啊o(>﹏<)o

目录

• • 概念与应用
  • 算法思想
  • 核心功能的实现
  • 代码

---

概念与应用

• 动态树LCT是维护动态森林的一种数据结构，支持树的合并link，拆分cut（正如其名），换根make root（我喜欢把这个函数叫be root~(≧▽≦)/~），动态LCA（不会╮(╯﹏╰)╭），和所有树链剖分能支持（不针对子树）的操作；
• LCT与树剖的区别在于树剖以线段树为基础，而LCT以splay（按原节点深度维护）为基础，这使得LCT相较前者可以支持动态的操作；
• 但虽然LCT每次基本操作复杂度为均摊O(logn)，由于其常数较大，比树剖略慢。

---

算法思想

• LCT中也有所谓的轻重链的概念（应该叫实虚边，也有叫偏爱边的），但其并划分以子树大小为根据，而是在操作的过程中进行不断修改的；
• LCT中首尾相连的实边组成一个路径。路径中深度最大的节点为路径的头部，深度最小的节点为路径的尾部；
• LCT中，对于每条路径，都有一个按深度大小维护的splay来保存信息。类似树剖的性质，任意两条路径间有且只有一条虚边将其相连。所以只需要再单独考虑虚边的维护就可以了；
• 普通splay的fa(root)==0，但在这里，我们可以令一个splay的root——rti的父亲为其所在实边尾部节点的父亲。这不仅不会对其它操作有任何影响，而且还机智地记录了路径之间的关系，即虚边的信息，于是原森林的信息得到完整保存；
• 有了LCT，动态操作物理上并不对原森林进行修改，只是借助splay的分裂与合并，进行逻辑上的修改；
• 其实，即使是对原森林没有修改的查询操作，LCT也会对splay进行分裂与合并，使要访问的点位于同一路径上（反正LCT里的实边可以随意更改），方便后续操作；
• 但需要特别说明的是，LCT 并不支持对于子树的操作，但仍可以通过维护虚边的信息来完成一些简单的操作。

---

核心功能的实现

• 底层函数

  1. Access接驳 //access不仅有访问的意思，这里其实应该是接驳的意思，即无缝连接（照搬词典O(∩_∩)O）
     将u到root的“路径”（通常说的简单路径）变为路径（LCT里特指的有相连实边组成的路径）u下方的点到u的路径变为虚边。

     实现：
     将从u不断向上找父亲，并将其变为父亲的儿子（即将这些点放在同一颗splay里）。

  2. Make Root换根
     将u变为原树的根。

     实现：
     先Access(u)，再Reverse(u)，把这颗splay中节点的深度全部翻转。

  3. Splay Mergesplay合并 //不知道大家为啥叫它split，那不是分裂的意思吗？(⊙v⊙)
     将u，v加入到同一颗splay中。

     实现：
     先Make Root(u)，再Access(v)，很好理解。
     ps：这样还隐式的让u为合并后的splay的根节点，v为u的儿子（右）。

  4. Find Root查找根
     查找u所在原树的根节点，即判断u在哪颗树里，通常用于判断两点在原树是否相连。

     实现：
     先Access(u)，再把Splay(u)到根，之后一直找左儿子（深度比u小的点），找到最后即为深度最小的点——root。

• 功能函数

  1. Link连接
     在原森林中连一条边(u,v)。

     实现：
     先Make Root(u)，让u为所在原树的根节点（对原树结构其实毫无影响，只是所在路径相对深度大小改变），再让v为u的父亲（即在LCT中连一条虚边(u,v)）。

  2. Cut断开
     在原树中将边(u,v)断开。

     实现：
     先Splay Merge(u,v)，将u，v放于同一颗splay中，便于操作，再把splay边(u,v)断开。

  3. Modify/Query修改或询问
     修改或询问原树中的一些信息，eg.修改val(u)，询问路径(u,v)的点权和等。

     实现：
     对于修改（一般都是单点修改），通常都要先Access(u)，再Splay(u)到根节点再改，方便更新；
     对于查询（如路径点权和），提前在每个点里记录一下路径头部到该节点的点权和，直接Splay Merge(u,v)，输出sum(u)，即可，注意操作时及时更新信息。

---

代码

洛谷P3690 模板题
注意开读入优化，不然会TLE！

#include <cstdio>#include <algorithm>using namespace std;inline int read();const int MAXN=300005;int n,m;struct node{    int s[2],fa,w,xr;    bool rev;};class LCT{    private:        int s[MAXN],top;        node d[MAXN];        void upd(int u){            d[u].xr=d[d[u].s[0]].xr^d[d[u].s[1]].xr^d[u].w;        }        void push_d(int u){            if(!d[u].rev) return;            d[d[u].s[0]].rev^=1;            d[d[u].s[1]].rev^=1;            swap(d[u].s[0],d[u].s[1]);            d[u].rev=0;        }        bool jud_rt(int u){            return ((d[d[u].fa].s[0]!=u) && (d[d[u].fa].s[1]!=u));        }        void rot(int u){            int ufa=d[u].fa;            push_d(ufa),push_d(u);            bool lr= d[ufa].s[1]==u;            d[u].fa=d[ufa].fa;            if(!jud_rt(ufa))                d[d[u].fa].s[d[d[u].fa].s[1]==ufa]=u;            d[ufa].s[lr]=d[u].s[lr^1];            d[d[ufa].s[lr]].fa=ufa;            d[u].s[lr^1]=ufa;            d[ufa].fa=u;            upd(ufa),upd(u);        }        void spl(int u){            push_d(u);            int &ufa=d[u].fa,&ugfa=d[ufa].fa;            while(!jud_rt(u)){                if(!jud_rt(ufa)){                    if((d[ufa].s[0]==u)^(d[ugfa].s[0]==ufa))                        rot(u);                    else rot(ufa);                }                rot(u);            }        }        void acc(int u){            for(int v=0;u;v=u,u=d[u].fa){                spl(u);                d[u].s[1]=v;                upd(u);            }        }        void be_rt(int u){            acc(u);            spl(u);            d[u].rev^=1;        }        int find_rt(int u){            acc(u);            spl(u);            while(d[u].s[0])                u=d[u].s[0];            return u;        }        void mg_spl(int u,int v){            be_rt(u);            acc(v);            spl(v);        }    public:        void add(int u,int val){            d[u].w=d[u].xr=val;        }        int qry_xr(int u,int v){            mg_spl(u,v);            return d[v].xr;        }        void link(int u,int v){            int urt=find_rt(u),vrt=find_rt(v);            if(urt==vrt) return;            be_rt(u);            d[u].fa=v;        }        void cut(int u,int v){            int urt=find_rt(u),vrt=find_rt(v);            if(urt!=vrt) return;            mg_spl(u,v);            if(d[v].s[0]==u){                d[v].s[0]=0;                d[u].fa=0;            }        }        void mdf(int u,int x){            acc(u);            spl(u);            d[u].w=x;            upd(u);        }}T;int main(){    n=read(),m=read();    for(int i=1,tmp;i<=n;++i){        tmp=read();        T.add(i,tmp);    }    for(int i=1,opt,x,y;i<=m;++i){        opt=read(),x=read(),y=read();        switch(opt){            case 1: T.link(x,y); break;            case 2: T.cut(x,y); break;            case 3: T.mdf(x,y); break;            default:printf("%d\n",T.qry_xr(x,y));        }    }    return 0;}inline int read(){    char c; int x;    while(c=getchar(),c<'0' || '9'<c);    x=c-'0';    while(c=getchar(),'0'<=c && c<='9')        x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0';    return x;}