51nod 1584 加权约数和

去年的 tangjz 非常喜欢做数论题，但是一年以后的 tangjz 却不那么会做了。

在整理以前的试题时，他发现了这样一道题目：“求 ∑σ(i) ，其中 1≤i≤N ， σ(i) 表示 i 的约数之和。”

现在他长大了，题目也变难了，所以麻烦你来帮他解决一道数论题吧。

他需要你求如下表达式的值：

 ∑Ni=1∑Nj=1max(i,j)⋅σ(i⋅j) 

其中 max(i,j) 表示 i 和 j 里的最大值， σ(i⋅j) 表示 i⋅j 的约数之和。

例如当 N=2 的时候，由 σ(1)=1,σ(2)=1+2=3,σ(4)=1+2+4=7 可知，答案应为 1⋅σ(1⋅1)+2⋅σ(1⋅2)+2⋅σ(2⋅1)+2⋅σ(2⋅2)=27 。

他发现答案有点大，所以你只需要告诉他答案模 1000000007 的值即可。

Input

每个测试点含有多组测试数据。第一行是一个正整数T，表示接下来有T组测试数据。（1≤T≤50000）接下来的T行，每组测试数据占一行。每行有一个正整数N，含义如描述所示。（1≤N≤1000000）

Output

共有T行。对于每组测试数据，输出一行信息"Case #x: y"。其中x表示对应的是第几组测试数据，y表示相应的答案模1000000007的值。

Input示例

512345

Output示例

Case #1: 1Case #2: 27Case #3: 162Case #4: 686Case #5: 1741【分析】经过一番莫比乌斯反演，可以做到O(nlogn)预处理，O(1)查询线性筛写的太垃圾，需要特殊的卡常技巧代码只有一次AC过...趁评测机跑得飞快水过了

【代码】
//51nod 1584 加权约数和#include<bits/stdc++.h>#define N 1000000#define ll long long#define M(a) memset(a,0,sizeof a)#define fo(i,j,k) for(i=j;i<=k;i++)using namespace std;const int mxn=1000001;const int mod=1e9+7;int n,m,T;bool vis[mxn];int s[mxn],ss[mxn],miu[mxn],pri[mxn];int ans[mxn],g[mxn],c[mxn];inline int read(){int x=0;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') ch=getchar();while(ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();return x;}inline int ksm(int x,int k){    int b=x;--k;while(k){    if(k&1) x=(ll)x*b%mod;    b=(ll)b*b%mod,k>>=1;}return x;}inline int get(int x,int p){int cnt=0,tmp=x;while(tmp%p==0) cnt++,tmp/=p;int t=ksm(p,2*cnt+1)-1;if(!c[p-1]) c[p-1]=ksm(p-1,mod-2);t=(ll)t*c[p-1]%mod;return (ll)g[tmp]*t%mod;}inline void init(){int i,j;miu[1]=g[1]=1;fo(i,2,N){if(!vis[i])  pri[++pri[0]]=i,miu[i]=-1,g[i]=(1+i+(ll)i*i%mod)%mod;for(int j=1;j<=pri[0] && (ll)i*pri[j]<=N;j++){vis[i*pri[j]]=1;if(i%pri[j]==0){g[i*pri[j]]=get(i*pri[j],pri[j]);break;}miu[i*pri[j]]=-miu[i];g[i*pri[j]]=(ll)g[i]*g[pri[j]]%mod;}}for(i=1;i<=N;i++) for(j=i;j<=N;j+=i){s[j]=s[j]+i;if(s[j]>mod) s[j]-=mod;}fo(i,1,N){ss[i]=(ss[i-1]+s[i])%mod;if(ss[i]>mod) ss[i]-=mod;}for(i=1;i<=N;i++) if(miu[i]) for(j=i;j<=N;j+=i){    ans[j]=ans[j]+(ll)i*j*miu[i]%mod*s[j/i]%mod*ss[j/i]%mod;    if(ans[j]<0) ans[j]+=mod;else if(ans[j]>mod) ans[j]-=mod;}fo(i,1,N){ans[i]=ans[i]+ans[i-1];if(ans[i]>mod) ans[i]-=mod;}fo(i,1,N) g[i]=(ll)i*g[i]%mod;fo(i,1,N){g[i]=g[i-1]+g[i];if(g[i]>mod) g[i]-=mod;}}int main(){init();int i,j;T=read();fo(i,1,T){n=read();printf("Case #%d: %d\n",i,(2*ans[n]%mod-g[n]+mod)%mod);}return 0;}