51nod1584：加权约数和（数论+线性筛）

来源：互联网发布：黑马程序员html 编辑：程序博客网时间：2024/05/29 18:42

离退役不远了，我依然很菜很菜，所以以后博客不再面向对象了，只为自己看懂。
题面

题意：求

\sum i = 1 n \sum j = 1 n m a x (i, j) σ 1 (i j)

其中

σ1(x)为x的约数和。

分类讨论

2 \sum i = 1 n \sum j = 1 i i σ 1 (i j) - \sum i = 1 n i σ 1 (i 2)

考虑

\sum i = 1 n \sum j = 1 i i σ 1 (i j)

由kscla的数表，有

= \sum i = 1 n i \sum j = 1 i \sum a | i \sum b | j a * j / b [(a, b) = 1]

先枚举a，到i，到b，到j，在把中括号用

μ换，

= \sum d = 1 n μ (d) d 2 \sum i = 1 ⌊ n d ⌋ i 2 \sum a = 1 ⌊ n i d ⌋ a \sum j = 1 a i \sum b = 1 ⌊ a i j ⌋ b

设右半部分为

f(⌊nd⌋)，有

= \sum d = 1 n μ (d) d 2 f (⌊ n d ⌋)

考虑f，有

f (x) = \sum n = 1 x n \sum i = 1 n σ 21 (i)

根据杜教筛的柿子和套路，将f差分，设为g，有

a n s (n) = \sum d = 1 n \sum i | d i 2 * μ (i) * f (d i)

复杂度nln(n)。
这是Kscla的博客，两篇都有错，对着看就好了。
这个T了，也懒得调了。

#include <iostream>#include <fstream>#include <algorithm>#include <cmath>#include <ctime>#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <cstring>using namespace std;#define mmst(a, b) memset(a, b, sizeof(a))#define mmcp(a, b) memcpy(a, b, sizeof(b))typedef long long LL;const int N=1001000,nn=1000000;LL mo=1e9+7;int T,n;LL prime[N],num,u[N],f[N],miu[N];LL g[N],h[N],p[N];int ans[N],c[N],hh[N];bool b[N];void read(int &hy){    hy=0;    char cc=getchar();    while(cc<'0'||cc>'9')    cc=getchar();    while(cc>='0'&&cc<='9')    {        hy=(hy<<3)+(hy<<1)+cc-'0';        cc=getchar();    }}int main(){    p[1]=miu[1]=u[1]=f[1]=1;    for(int i=2;i<=nn;i++)    {        if(!b[i])        {            prime[++num]=i;            u[i]=i;            miu[i]=-1;            f[i]=i+1;            p[i]=((LL)i*i%mo+i+1)%mo;        }        for(int j=1;j<=num&&prime[j]*i<=nn;j++)        {            LL pj=prime[j];            int ipj=i*pj;            b[ipj]=1;            if(i%pj==0)            {                u[ipj]=u[i]*pj;                f[ipj]=(f[i]+f[i/u[i]]*u[i*pj])%mo;                p[ipj]=(p[i]+p[i/u[i]]*(pj+1)%mo*u[ipj]%mo*u[i]%mo)%mo;                miu[ipj]=0;                break;            }            f[ipj]=f[i]*f[pj]%mo;            p[ipj]=p[i]*p[pj]%mo;            u[ipj]=pj;            miu[ipj]=-miu[i];        }    }    for(int i=1;i<=nn;i++)    p[i]=p[i]*i%mo;    for(int i=1;i<=nn;i++)    p[i]=(p[i]+p[i-1])%mo;    for(int i=1;i<=nn;i++)    g[i]=(g[i-1]+f[i])%mo;    for(int i=1;i<=nn;i++)    h[i]=g[i]*i%mo*f[i]%mo;    for(int i=1;i<=nn;i++)    miu[i]=(miu[i]*i*i%mo+mo)%mo;    for(int i=1;i<=nn;i++)    c[i]=(int)miu[i];    for(int i=1;i<=nn;i++)    hh[i]=(int)h[i];    for(int i=1;i<=nn;i++)    for(int k=i;k<=nn;k+=i)    ans[k]=(ans[k]+(LL)hh[k/i]*c[i]%mo)%mo;    for(int i=1;i<=nn;i++)    ans[i]=(ans[i-1]+ans[i])%mo;    scanf("%d",&T);    for(int i=1;i<=T;i++)    {        read(n);        int tu=(2*ans[n]%mo-p[n]+mo)%mo;        printf("Case #%d: %d\n",i,tu);    }    return 0;}

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