离散基础 (16). 赌博，看数学怎么说！

1. 问题描述
初始给定赌徒i元，每一次赌赢赢1元，其概率为α，每一次赌输输1元，其概率为β，其中β=1−α。根据赌徒的心理——要么赢完N元再走人，不妨用数学符号描述该事件概率为Pi；要么输光手里的i元再走人，相应地，该事件的概率为%1-P_i%问：这两种事件的概率分别为多大？

2. 数学分析
首先，直观地我们有，

Gamenext={Gamecurrent+1,whenαGamecurrent−1,whenβ

因为α+β=1，我们有，

αPi+βPi=αPi+1+βPi−1

因为α,β∉{0,1}，我们有，

Pi+1−Pi=βα(Pi−Pi−1)

因为P0=0，我们有，

Pi+1−Pi=(βα)iP1

Pi+1−P1=∑k=1i(Pk+1−Pk)

Pi+1−P1=∑k=1i((βα)kP1)

Pi+1=P1∑k=0i(βα)k

化简后，我们有，

Pi=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1−(βα)i1−(βα)N,α!=βiN,α=β

以及,

1−Pi=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1−1−(βα)i1−(βα)N,α!=β1−iN,α=β

当一直赌博赌下去的时候，即limN→∞时，

limN→∞(1−Pi)=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪(βα)i,whenβα<11,whenβα≥1

其中，1≤i≤N−1.

3. Results

我们可以从2个方面得到基本数学道理如下：

1. 不考虑大奖的前提下，如果赔率大于等于50%（日常赌博赔率难道不都是大于50%的么，同意么？），那么，不管你口袋中有多少钱，数学上可以100%保证你最终会输光光。
2. 如果一旦大于50%（如果天下有这种好事的话），那么，你口袋中的钱越多，你越有可能成为大满贯，并且可能性是随着你口袋中的钱的数目而指数上升的。

4. 下一步
上面分析的只是赌博的基调（输）。现实生活中，大奖因素会引导赌徒抱有侥幸心理，我们知道侥幸不好不坏，这是首先要声明的，那么，我们需要具体多少侥幸，侥幸到什么程度才比较合适呢？比如考虑赢多少的时候离开最合适，输多少的时候离开最合适？下回再分析。

参考
1. https://en.wikipedia.org/wiki/Gambler%27s_ruin
2. Coad A, Frankish J, Roberts R G, et al. Growth paths and survival chances: An application of Gambler’s Ruin theory[J]. Journal of Business Venturing, 2013, 28(5): 615-632.