【剖析】0-1背包算法

0-1背包

何为0-1背包？通俗的讲就是背包问题，一个包要么背这件物品，要么不背这件物品，0和1体现了要么背要么就不背，每件物品都有重量和价值，怎样选择物品才能获得最大点的价值，这个问题我们可以通过动态规划的方法进行巧妙的解决。

我们用当前得物品重量和包的剩余重量进行比较，如果书包剩余重量小于当前的物品重量，就直接进行下一个武平的匹配，如果书包剩余重量大于当前物品重量，有两种选择，要么装，要么不装，这个选择体现它的价值，通过递归很巧妙的实现了这个思想，代码如下：

int count2 = 0;int Knapsack(int *w, int *v, int i, int len, int weight){count2++;if (w == NULL || v == NULL) return 0;if (i == len)return  weight >= w[i] ? v[i] : 0;//最后只有一个的元素时的最大值if (i < len)//大于一个元素{if (w[i]>weight)return Knapsack(w, v, i + 1, len, weight);else{int a =Knapsack(w, v, i + 1, len, weight);int b = Knapsack(w, v, i + 1, len, weight - w[i]) + v[i];return a > b ? a : b;}}return 0;}

我们发现这个代码有很多的重复计算，那么怎么样消除重复项呢？我们借助二维数组，代码如下：

int count1 = 0;int Knapsack_e(int *w, int *v, int i, int n, int j, int **m){count1++;if (i == n){m[i][j] = j >= w[n] ? v[n] : 0;return m[i][j];}else if (m[i][j] > 0) return m[i][j];{if (j<w[i]){m[i][j] = Knapsack_e(w, v, i + 1, j, n, m);}else{int a = Knapsack_e(w, v, i + 1, j, n, m);int b = Knapsack_e(w, v, i + 1, j - w[i], n, m) + v[i];m[i][j] = a>b ? a : b;}return m[i][j];}}

这两个都是递归实现，那么循环的方法怎样实现呢？代码如下：

int count3;int Knapsack1(int *w, int *v, int **c, int n,int weight){int i, j;i=n;for (j = 1; j <= weight; j++){c[i][j] = w[i] > j ? 0 : v[i];}for (i = n - 1; i >= 1; i--){for (j = 1; j <= weight; j++){if (w[i] > j)c[i][j] = c[i + 1][j];else{c[i][j] = Max1(c[i + 1][j], c[i + 1][j - w[i]] + v[i]);}}}return c[1][weight];}