算法1-3:0-1背包问题

★问题描述：给定m个物品和一背包。物品i的重量是wei[i]，其价值是val[i]，背包容量是n。问应如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中物品的总价值最大。

★算法设计：利用动态规划算法，要考虑到每种物品有两种选择，即装入背包或者不装入背包。不能将同一物品装入背包多次，也不能只装入物品的一部分。

★数据输入：输入一个n作为背包容量，输入一个m作为物品的数量。接下来输入m个数作为m个物品的重量，再输入m个数作为物品的价值

★数据输出：输出背包中物品的最大总价值。

例：

输入：

10

5

2 2 6 5 4

6 3 5 4 6

输出：

15

首先来考虑如何想这个问题。m个物品，每个物品两种状态，装在包里或者没有装在包里。那比较容易想到的方法就是穷举法，然后找到小于背包总容量的最大的方式。但是这个方法时间复杂度太高，比如5个背包就有2的5次方种放的方法，而且时间复杂度是指数级的，所以开始想简便的方法。

可以看一下这个表

最后一行是作为辅助行来帮助进行循环的。

图需要从左到右，从下到上来看：

比如第6行就是只有包裹e的时候，随着背包容量增大，背包最大总价值的变化

第5行就是有背包d和e时，背包总价值的变化

以此类推……

第2行就是有所有物品的时候，背包最大总价值的变化，而M2就是我们要求的结果

这个表格是咋来的：

首先，第7行默认全是0，作为辅助行

之后每一行都需要参考前一行来进行赋值（第6行要靠第7行来赋值）

先要做一个判断，列数是不是大于本行背包的重量，如果小于，直接赋前一行对应列的值（比如D6，E6，F6）

如果大于等于本行的物品重量，就要进行一个判断：a[i][j]=MAX（a[i+1][j],a[i+1][j-wei[i]]）

比如说要确定L4，就要看L5和F5+5谁更大，结果是L5更大

比如说要确定K2，就要看K3和i3+6谁更大，结果是i3+6更大

下面是C++的代码：

#include <iostream>using namespace std;int main(){    int a[11][100]={0};    int wei[10]={0};//背包重量    int val[10]={0};//背包价值    int n,m,i,j;    cout<<"输入背包容量（小于100）："<<'\n';    cin>>n;//背包容量    cout<<"输入物品个数（小于10）："<<'\n';    cin>>m;    cout<<"输入"<<m<<"个背包的重量"<<'\n';    for(i=0;i<m;i++)        cin>>wei[i];    cout<<"输入"<<m<<"个背包的价值"<<'\n';    for(i=0;i<m;i++)        cin>>val[i];    //开始填表格 最下面增加一排0    for(i=m-1;i>=0;i--)//i为行数    for(j=0;j<=n;j++){//j为列数        if(j>=wei[i]){//看重量是否大于本排包裹的重量            a[i][j]=a[i+1][j-wei[i]]+val[i];            //如果比他大，就和前一排的减去重量的那位进行比较            if(a[i+1][j]>a[i][j])                a[i][j]=a[i+1][j];        }        else a[i][j]=a[i+1][j];        //如果重量比本排的包裹小，直接赋值前一排的value    }    //开始打印表格    cout<<"-------------------------------"<<endl;    for(i=0;i<m;i++){        for(j=1;j<=n;j++)            cout<<a[i][j]<<" ";        cout<<endl;    }    cout<<"-------------------------------"<<endl;    cout<<"则背包最大的价值为："<<a[0][n];    return 0;}

下面是运行的结果（把生成的表格也打出来了）：