Contest_5 0614 By lhq

来源：互联网发布：java中如何记录日志编辑：程序博客网时间：2024/06/06 03:15

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题目来源：学军中学NOIP2013提高组原创模拟题day2
https://wenku.baidu.com/view/3d053c4c76eeaeaad0f3309d.html###

Solution

T1 完全平方数关键字：欧拉筛，快速幂，贪心

这道题目有两个区分点： 1.筛选素数的方法 2.计算结果的方法
1.处理方法显然就是欧拉筛（线性筛）了，注意要筛选到n/2，到sqrt（n）是不够的。
2.我们对任意一个数的阶乘进行质因数分解，例如：
15！=211 36 53 72 111 131
那么对于这些质因子我们能够取到的理论上的最大的完全平方数是210 36 52 72 110 130 即偶次幂完全取完，奇次幂减去1。事实上这事完全能够做到的，因为我们只要不取那个质数就能做到次数减一。
Tip：1.在求完质数后求n！中有几个质数p时可以用数学方法快速计算：
num=(n/p)+(n/p2)+(n/p3)+…… 这里的“/”都是下取整的
2.计算时要用到快速幂
3.一般的筛选法写得巧妙一点也可以过，如下：

//一般筛选法; int main(){    scanf("%lld",&n);    memset(vis,false,sizeof(vis)); vis[1]=true;    for (ll i=2;i<=n;i++)    {        if (!vis[i])         {            prime[++tot]=i;            for (ll j=i*i;j<=n;j+=i) vis[j]=true;        }    }

T2 卡片游戏关键字：数学大力推一发，逆序对

上标解。
T2-1
T2-2

T3 围栏问题关键字：搜索+剪枝，Dancing Links

这道题ZJOI2017讲课时提到过，可惜没有记住怎么做，当然记住了也没用，因为当时讲的是Dancing Links，其实对种种小数据可以搜索+剪枝水过

这道题目的关键是我们要推出下面这个性质：所有的围栏都是互不相交的矩形
————————————————————证明————————————————————
首先，两个围栏互相包含的情况不可能在最优解中出现（把里面那个拆掉可以节省篱笆，得到一个更优解）。
其次，两个围栏相交的情况也一定不是最优，如下图所示，把重叠的部分拆掉可以得到更优解。
T3-1
由于我们的目标是最小化周长，可以得到这样一条重要性质：矩形的围栏比不规则形状的更优。如图，把里面的边往外平移，成为一个矩形的边框，这样可以在周长不变的情况下，围住更多的土地。（不用担心扩展出去的部分会和另外的围栏相交，因为这不可能在最优解中出现，刚才已经提到）
T3-2
有些情况下，矩形边框不仅扩大围住的范围而且能节省周长。
T3-3
所以，接下来我们只需考虑用矩形去包围兔子就够了。
T3-4
定义基本矩形或叫极小矩形——假如这个矩形再往里缩小一点就会有兔子从里面逃出。
T3-5
如就不是一个极小矩形，它可以往里收缩

现在它是一个极小矩形。
容易发现，最优解中必然只包含极小矩形。
——————————————————证毕————————————————————
解法一：
搜索+剪枝，枚举每一个兔子所在的栅栏，如果还可以再多一种栅栏就可以多一种选择：即开一个刚刚包围自己的栅栏。另一种选择就是和之前的某一个集合的兔子合并放到一个栅栏里，计算周长时找到上下左右的最大差值，记得+1。

解法二：
我们可以预处理出所有极小矩形：枚举所有兔子的非空子集，找出这个子集中最上、最左、最右、最下的兔子，就可得到一个极小矩形。（当然这样计算会出现许多重复的，剔除即可）。这种做法虽然是指数级的但是编码简单，而且n很小，仍可接受。
现在我们有了一堆矩形，对于每个矩形我们掌握它的两个属性：周长、围住了的兔子集合。问题转化为：从这堆矩形中选出不超过k个，在满足这些兔子集合互不相交，且其并集恰好是兔子全集的条件下，最小化总周长。
这是一个典型的精确覆盖问题，搜索解决即可。可以使用二进制来表示各个集合，用位运算的方法达到优化的效果。也可以用DLX来做，更快，更爽。（我会告诉你我不会Dancing Links 吗，但不要慌，我会附上标程，可以借鉴一下）

总结：

这次考试T1没写出来欧拉筛，先优化版的一般筛法也没想到，只拿了70分，这提醒我要注意复习以前学过的知识，不要一直想着学新知识。T2也只拿了暴力分，数学推理都没敢去试一试，更没有想到是逆序对这种基础的知识，这也告诉了我们很多东西是伪装过的，不是你会逆序对就可以AC掉T2，还得有抽丝剥茧的能力。T3的dfs解法更是告诉了我们一样东西：暴力出奇迹。

CODE

T1

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;#define ll long long#define MOD 100000007const ll MAXN=5000010,MAX_PRIME=350000;ll n,ans=1,tot;ll prime[MAX_PRIME];bool vis[MAXN];ll power(ll a,ll b,ll p){    ll ans=1;    while (b)    {        if (b&1) ans=(ans*a)%p;        a=(a*a)%p;        b>>=1;          }    return ans;}//欧拉筛; int main(){    scanf("%lld",&n);    memset(vis,false,sizeof(vis)); vis[1]=true;    for (ll i=2;i<=n;i++)    {        if (!vis[i]) prime[++tot]=i;        for (ll j=1;j<=tot && i*prime[j]<=n;j++)        {            vis[i*prime[j]]=true;            if (i%prime[j]==0) break;        }    }    for (ll i=1;i<=tot;i++)    {        ll t=n,a=prime[i],cnt=0;        while (t>0) t/=a,cnt+=t;        if (cnt>1)            if (cnt&1) ans=(ans*power(a,cnt-1,MOD))%MOD;            else ans=(ans*power(a,cnt,MOD))%MOD;    }    cout<<ans;    return 0;}

T2

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;#define ll long longconst ll MAXN=500010;ll tmp[MAXN],A[MAXN],B[MAXN],ans;ll gcd(ll a,ll b){    if (b==0) return a;    else return gcd(b,a%b);}void Reverse_pair1(ll a[],ll b[],ll l,ll r){    if (l==r) return;    ll mid=(l+r)>>1;    Reverse_pair1(a,b,l,mid);    Reverse_pair1(a,b,mid+1,r);    ll i=l,j=mid+1,k=l;    while (i<=mid && j<=r)        if (a[i]<a[j])            b[k++]=a[i++];        else             b[k++]=a[j++],ans+=mid-i+1;    while (i<=mid) b[k++]=a[i++];    while (j<=r) b[k++]=a[j++];    for (ll i=l;i<=r;i++) a[i]=b[i];}void Reverse_pair2(ll a[],ll b[],ll l,ll r){    if (l==r) return;    ll mid=(l+r)>>1;    Reverse_pair2(a,b,l,mid);    Reverse_pair2(a,b,mid+1,r);    ll i=l,j=mid+1,k=l;    while (i<=mid && j<=r)        if (a[i]<=a[j])            b[k++]=a[i++];        else             b[k++]=a[j++],ans-=mid-i+1;    while (i<=mid) b[k++]=a[i++];    while (j<=r) b[k++]=a[j++];    for (ll i=l;i<=r;i++) a[i]=b[i];}int main(){    ll n,l,r,x,sum=0;    scanf("%lld%lld%lld",&n,&l,&r);    for (ll i=1;i<=n;i++)     {        scanf("%lld",&x);        sum=sum+x;        A[i]=l*i-sum;        B[i]=r*i-sum;    }    Reverse_pair1(A,tmp,0,n);    Reverse_pair2(B,tmp,0,n);    ll tot=n*(n+1)/2;    ll d=gcd(tot,ans);    if (ans==tot) cout<<"1";    else cout<<ans/d<<"/"<<tot/d;       return 0;}

T3

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;#define ll long longconst int MAXN=16+1;int x[MAXN],y[MAXN],lx[MAXN],rx[MAXN],ly[MAXN],ry[MAXN],ans,n,m,maxk;void dfs(int t,int use,int tot){    if (tot>ans) return;    if (t>n)    {        ans=tot;        return;    }    if (use<maxk)    {        lx[use+1]=rx[use+1]=x[t];        ly[use+1]=ry[use+1]=y[t];        dfs(t+1,use+1,tot+4);        lx[use+1]=ly[use+1]=rx[use+1]=ry[use+1]=0;          }    for (int i=1;i<=use;i++)    {        int minx=lx[i],miny=ly[i],maxx=rx[i],maxy=ry[i];        int c=tot-2*((maxx-minx+1+maxy-miny+1));        lx[i]=min(lx[i],x[t]);  rx[i]=max(rx[i],x[t]);        ly[i]=min(ly[i],y[t]);  ry[i]=max(ry[i],y[t]);        c+=2*((rx[i]-lx[i]+1+ry[i]-ly[i]+1));        dfs(t+1,use,c);         lx[i]=minx; rx[i]=maxx; ly[i]=miny; ry[i]=maxy;     }}int main(){    scanf("%d%d%d",&m,&maxk,&n);    for (int i=1;i<=n;i++)        scanf("%d%d",&x[i],&y[i]);    ans=1<<30;    dfs(1,0,0);    cout<<ans;      return 0;}

T3 Dancing Links

#include<iostream>#include<cstdio>#include<algorithm>#include<cstring>#include<cstdlib>using namespace std;int m=0,n;int l,kmax;int X[25],Y[25],totX=0,totY=0;//离散化；int x[25],y[25];int L[500000],R[500000],U[500000],D[500000],C[500000];int head;int S[25]={0};int W[500000];int arr[500000]={0};int ans=30000;void remove(const int c) {      int i,j;         L[R[c]] = L[c];     R[L[c]] = R[c];     for (i = D[c]; i != c; i = D[i]) {              for (j = R[i]; j != i; j = R[j]) {                  U[D[j]] = U[j];                  D[U[j]] = D[j];                  S[C[j]]--;              }     }}void resume(const int c) {     int i,j;     for (i = U[c]; i != c; i = U[i]) {          for (j = L[i]; j != i; j = L[j]) {             S[C[j]]++;             U[D[j]] = j;             D[U[j]] = j;             }     }     L[R[c]] = c;     R[L[c]] = c; }void dfs(int k,int sum) {    int i,j,t;    int s=30000, c;    if(sum>=ans)return;    if (R[head] == head) {        ans=sum;       return;    }    if(k>=kmax)return;    for (t = R[head]; t != head; t = R[t]) {         if (S[t] < s) {            s = S[t];            c = t;            }   }   remove(c);   for (i = D[c]; i != c; i = D[i]) {       for (j = R[i]; j != i; j = R[j])            remove(C[j]);       dfs(k + 1,sum+W[i/n]);                        for (j = L[i]; j != i; j = L[j])            resume(C[j]);   }   resume(c);   return;}int main(){        scanf("%d%d%d",&l,&kmax,&n);    for (int i=0;i<n;i++)        scanf("%d%d",&x[i],&y[i]);        for (int i=1;i<1<<n;i++){        int l=5000,r=0,u=5000,d=0;        for (int j=0;j<n;j++)            if(i&(1<<j)){                         u=min(u,x[j]);                         d=max(d,x[j]);                         l=min(l,y[j]);                         r=max(r,y[j]);            }        bool ok=true;        for (int j=0;j<n && ok;j++)            if(!(i&(1<<j)) && x[j]>=u && x[j]<=d && y[j]>=l && y[j]<=r)ok=false;        if(!ok)continue;        W[++m]=(d-u+r-l+2)*2;        for (int j=0;j<n;j++)            if(i&(1<<j))arr[m*n+j]=1;    }    /////////////////////////////////    head=(m+1)*n;L[head]=R[head]=head;    L[0]=head;R[head]=0;R[n-1]=head;L[head]=n-1;    U[0]=D[0]=0;    for (int j=1;j<n;j++){        L[j]=j-1;        R[j-1]=j;        U[j]=D[j]=j;    }    for (int i=1;i<=m;i++){        int last=0;        int first;        for (int j=0;j<n;j++){            if (arr[i*n+j]){               if(last!=0){                           L[i*n+j]=last;                           R[i*n+j]=first;                           R[last]=i*n+j;                           last=i*n+j;               }               else {                    first=last=i*n+j;                    L[first]=R[first]=first;               }            }        }        if(last)L[first]=last;    }    for (int j=0;j<n;j++){        int last=j;        for (int i=1;i<=m;i++){            if(arr[i*n+j]){                           U[i*n+j]=last;                           D[i*n+j]=j;                           D[last]=i*n+j;                           last=i*n+j;                           C[i*n+j]=j;                           S[j]++;            }        }        U[j]=last;    }    dfs(0,0);//DLX    printf("%d\n",ans);    return 0;}

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