关于Delaunay triangulation那些事

        之前在看一些跨年龄人脸识别论文的时候就遇到了这个家伙，当时查了查资料，知道了它是Delaunay三角剖分，是计算几何的一个经典问题，好多大牛用这个算法来对人脸进行对齐，标准脸的学习以及各种高大上。当时看了论文中的一些参考资料，居然有一篇资料是一本书。本着热爱学习的精神，我居然把它download下来了，厚厚的一本书。。。然后就没有然后了。。。

        这几天又遇到了这个家伙，所以本着钻牛角的精神决定把它吃掉！！！

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1.  首先什么是triangulation呢？

说一些我不懂的，三角剖分是代数拓扑学最基本的研究方法。

再说一些我能明白的，那就是例子！

以曲面为例，我们把曲面剖开成一块块的碎片，曲面这个东西，人脸不就是典型的曲面吗？所以可以理解为什么它会被应用到人脸上。。。，那么我们不能随便对它进行剖分吧。需要满足一些条件：

（1）每一块碎片都是曲边三角形（曲边三角形就是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径画出的图形，曲面的宽度是等长的）

（2）曲面上任何两个这样的曲边三角形，不能同时相交两条或两条以上的边，只能不相交或者是相切于一条公共边

（3）曲面中所有的都是三角面，且所有三角面的合集是所有点集合的凸包

拓扑学的一个已知事实告诉我们：任何曲面都存在三角剖分

那我们假设曲面上有一个三角剖分，把所有三角形的定点个数记为p，边数记为l，三角形的个数记为n，则e = p-l+n是曲面的拓扑不变量。也就是说不管是什么剖分，e总是得到相同的数值，e被称为欧拉示性数

2. 其次什么是Delanunay triangulation呢？

假设边的集合E中的一条边e（两个端点为a，b）,e如果满足下列条件，则称之为Delaunay边：

存在一个圆经过a,b两点，圆内不包含点集中的任何点，这一特性称为空圆特性

那么到底什么是Delanunay三角剖分呢？

如果一个曲面的点集的一个三角剖分只包含Delaunay边，那么这样的三角剖分就称为Delaunay三角剖分

我们来看个图，直观的感受一下什么是Delaunay三角剖分

 

这是三个点的三角剖分

那我们再来看看四个点的三角剖分？

如果我们以ab两点连线来分割，这样的话，就满足Delaunay三角剖分；那如果是以cd边？那就不是我们要的Delaunay三角剖分了

关于Delaunay三角剖分的另一个更为直观的定义便是：

三角剖分中的每个三角形的外接圆的内部都不包含点集中的任何点

当我们知道了Delaunay三角剖分到底是个什么鬼之后呢，那么重要的是如何来构建 一个曲面的Delaunay三角剖分???

Delaunay三角剖分的算法有这几种----翻边算法、逐点插入算法、分割合并算法以及Bowyer-Watson算法等

之前一看到有这么多计算方法 头大 当时觉得自己脑容量没那么多 就忽略掉它了 嗯 

但是我们还是选择一个学习一下吧 毕竟学海无涯嘛

其实当我看到这个三角剖分时 由于天资不够 只能想到类似于逐点插入的想法了

在triangulation中写出了该方法的伪代码：

未完待续。。。